Regardez ces quatre (4) vidéos en ordre. La durée totale est de 25 minutes. N'oubliez pas de tester vos connaissances à l'aide des tests de connaissances après chaque vidéo.

Description: Cette vidéo explique les tableaux de Butcher généralisés et comment les utiliser pour générer différents solveurs d’ÉDO, tels que la méthode classique RK4.


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Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|06 et il s'agit de la théorie des tableaux de Butcher et de la méthode RK4 pour résoudre les équations différentielles ordinaires.

Tout d'abord, parlons de la théorie générale. Les méthodes montrées précédemment, par exemple, la méthode d'Euler et les méthodes du deuxième ordre font toutes partie d'une famille de techniques numériques appelée les méthodes de Runge-Kutta. Toutes ces techniques tentent d'obtenir une précision d'ordre supérieur des approximations de la série de Taylor sans calculer réellement les dérivées d'ordre supérieur. Ceci est obtenu en calculant la pente à de nombreux points. Ces méthodes peuvent être organisées dans un tableau de Butcher. Un tableau de Butcher généralisé est présenté ici. La première colonne contient les paramètres a, à l’intérieur du tableau se trouvent les paramètres b, et la dernière ligne en bas les paramètres c. Voyons ce que cela signifie. La première étape pour toute méthode Runge-Kutta est de calculer les valeurs de k. Donc pour k = 1 à n, où n est le nombre de valeurs de k désiré pour un certain ordre, par exemple, pour une méthode du deuxième ordre n serait 2, nous avons kk = f(xi + aih, yi +h fois la sommation de j = 1 jusqu’à k-1  de bkjkj). Cela peut sembler très confus, mais nous allons examiner cela plus en détail lorsque nous ferons quelques exemples. Les valeurs de a représentent la façon dont nous allons ajuster nos valeurs de xi. Donc, vous pouvez voir ici, xi + aih est l’ajustement pour x. Les valeurs b vont représenter la façon dont nous allons changer nos valeurs de y, et en fait ils seront les facteurs de pondération de nos k pour ajuster les valeurs de y. C'est ici que nous avons notre yi + h fois cette série de sommation incluant les b. Une fois que nous avons nos valeurs de k, ce que nous allons faire, c'est de les pondérer d'un certain montant. Vous pouvez le faire avec cette fonction ϕ ici, où ϕ est une fonction de xi, yi et h, qui est égal à la somme de j = 1 jusqu’à n de cjkj. Ce sont donc les facteurs de pondération que nous avons. Une fois que nous avons ces facteurs de pondération, nous pouvons mettre à jour notre valeur de yi+1, qui sera égale à y+ la fonction ϕ fois h. C'est la forme généralisée de ces méthodes.

Regardons-la sous des exemples plus spécifiques que nous avons déjà fait. Voici un exemple du tableau de Butcher pour la méthode d'Euler. Il est assez petit car la méthode d'Euler n'a qu'une seule estimation de la pente, qui est k1. Voyons comment prendre le tableau de Butcher et le convertir en équations. Nous avons k1 égal à f(xi +0 ,donc vous pouvez voir d'où vient le zéro ici, fois h, yi). Avec cela, nous pouvons maintenant passer à yi+1, qui est égal à yi + 1hk1. La prochaine méthode que nous pouvons examiner est la méthode de Heun. Si vous vous souvenez de la méthode de Heun, nous allons prendre deux estimations de la pente à ket k2. Dans ce cas, k1 est égal à f(xi + 0h,yi) et pour k2, nous allons avoir xi + 1h. Vous remarquerez en bleu où nous trouvons ces valeurs dans notre tableau. Ensuite, comme nous avons une valeur de k1 maintenant pour calculer k2, on peut utiliser la partie intérieure de notre tableau de Butcher pour le coefficient b. Et puis nous pouvons enfin utiliser ces deux estimations de k1 et k2 pour calculer le yi+1, qui est égal à yi + h fois nos deux moitiés ici. Donc k1 est pondéré par 1/2 et k2 est pondéré par 1/2. Essayons d’utiliser le tableau de Butcher pour la méthode du point médian. Nous avons donc k1 qui va être égal à f(xi+ 0h encore, yi). Puis, pour k2, notre xi est ajusté d’un facteur de 1/2, qui provient du tableau de Butcher. De même, notre yi est ajusté de la moitié de h*k1. Une fois que nous avons trouvé nos k, nous pouvons calculer notre prochaine estimation de yi+1, qui est égale à yi + h(0k1 + 1k2). Encore une fois, vous pouvez voir que tout est pondéré par la deuxième estimation de la pente, k2. Finalement, essayons d’utiliser le tableau de Butcher pour la méthode de Ralston. Vous verrez qu'encore une fois, nous pouvons utiliser les valeurs de la première colonne pour ajuster nos valeurs de xi. Pour k1, nous avons xi + 0h comme d'habitude, et pour k2 il est égal à xi +3h/4. Notez que normalement, pour k1, nous n’utilisons pas la notation xi + 0h, mais plutôt juste xi. Mais à titre d'exemple, on le démontre ici. Pour k2encore, nous allons ajuster notre yi. Soit yi + 3hk1/4. Maintenant que nous avons nos valeurs de k1 et k2, nous pouvons trouver notre yi+1, qui devrait être égal à yi + h fois les facteurs pondérés pour k1 et k2. Nous avons 1/3 fois k1 et 2/3 fois k2.

Regardons une méthode du troisième ordre. Par exemple, cette méthode Kutta ici qui aura trois k. Nous pouvons générer les équations de k basé sur ce tableau de Butcher. Donc pour k1, notre xi sera ajusté par +0h, pour k2, notre xsera ajusté par +1/2 h, et pour k3 le xi sera ajusté par +1h. Maintenant que nous avons fait cela, nous pouvons regarder comment nos y vont être ajustés. Puisqu'il n'y a pas encore de valeur de k lorsque nous calculons k1, la valeur de y ne peut pas être ajusté. Mais pour calculer k2, elle peut être ajusté et dans ce cas, elle sera ajustée de moitié. Donc nous avons yi + (1/2)hk1. Pour k3 dans ce cas, on peut utiliser une pondération de k1 et k2 pour ajuster y. Dans ce cas, pour k3 yi sera ajusté par -hk1 + 2hk2. Une fois que nous avons nos 3 valeurs de k, nous pouvons calculer notre prochaine estimation de yi+1, qui est égale à yi + h((1/6)k1 + (2/3)k2 + (1/6)k3). Examinons un autre tableau de Butcher. Dans ce cas-ci, nous allons examiner la méthode de Runge-Kutta 4 ou la méthode de RK4, qui est une méthode du quatrième ordre, et qui est assez populaire. Donc, dans ce cas-ci, nous devrons calculer 4 valeurs de k. Si on regarde le tableau de Butcher, on peut générer les équations commençant d'abord en regardant les valeurs de x et comment qu’elles vont changer. Pour k1, xi sera ajusté par 0h. Pour k2, il sera ajusté par la moitié de h. Pour k3, il sera également ajusté par la moitié de h, donc nous calculons deux pentes différentes au point médian. Et finalement pour k4, xi sera ajusté par 1h. Ensuite, nous allons regarder comment yi change pour k2. Dans ce cas-ci, la valeur est ajustée de ½hk1. Pour k3, vous remarquerez que nous ne tenons pas compte de k1, donc à 0hk1 plus la moitié de hk2. Puis pour trouver k4, nous ne tenons pas compte de k1 ou k2 pour le changement de y, ce qui donne yi + 0hk1 + 0hk2 + 1hk3. Une fois que nous avons cela, nous pouvons calculer notre yi+1, qui est égal à yi+h((1/6)k1 + ((1/3)k2 + ((1/3)k3 + ((1/6)k4).

Examinons la représentation graphique de la méthode de RK4. Nous calculons d'abord notre valeur k1, qui est la pente à xi. Nous passons à mi-chemin avec un demi-pas pour trouver une autre pente, k2. Puis nous utilisons cette pente pour parcourir un autre demi-pas et vous remarquez que la pente de la ligne noire, k2, et la pente inférieure turquoise sont équivalentes. Cela nous donne une pente de k3. Ensuite, nous allons utiliser cette pente k3, qui dans ce cas, semble être très similaire à la pente k2 mais est quand même différente, pour trouver une valeur de k4. Une fois que nous aurons évalué k4, nous pourrons prendre une moyenne pondérée de tous nos k et trouver notre prochaine estimation de yi+1. Examinons la fonction que nous avons utilisée précédemment, qui est f(x,y) = (10ex - 3y)/(1 + 3x). La ligne en orange que nous avons ici est la vraie réponse et si nous appliquons la méthode d'Euler pour une certaine taille de pas, nous obtiendrions une estimation qui n’est pas trop précise. Si nous appliquons la même taille d’étape en utilisant la méthode de RK4, vous pouvez voir qu'elle est beaucoup plus précise sur tous les points que nous avons, ce qui est fantastique. Et bien, vous pouvez dire que bien sur la méthode de RK4 est plus précise car elle calcule 4 pentes différentes et il y a beaucoup plus de calculs à faire. Et c'est vrai. Cependant, si nous exécutons le même nombre de calculs avec la méthode d'Euler, vous remarquerez qu'elle n'est toujours pas aussi précise que la méthode de RK4, ce qui démontre qu'elle est supérieure.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo met en œuvre la théorie de la méthode de RK4 dans un problème pratique, selon une approche étape par étape.

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Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|07 et il s’agit d’un exemple étape par étape de l'utilisation de la méthode de RK4 pour résoudre des équations différentielles ordinaires.

Tout d'abord, examinons le problème. Résolvez le problème suivant en utilisant la méthode de RK4 avec les conditions suivantes. Les conditions initiales sont: x0 = 0, y0 = 1, h, la taille d’étape est égale à 0.5, et la valeur finale que nous recherchons, xf, est égale à 1.5. La fonction est dy/dx = xcos(x)/(1-ey). Donc, nous avons notre fonction f(x,y) = xcos(x)/(1-ey) et nous avons notre tableau d'itération dans le coin inférieur gauche ici. Dans ce cas, nous aurons sept colonnes. Les colonnes pour les itérations sont i, x, y, k1, k2, k3, et k4 car nous avons 4 estimations de la pente à faire. Dans ce cas, ces équations sont k1 = f(xi,yi), k2 = f(xi + h/2, yi + hk1/2), k3 = f(xi + h/2, yi + hk2/2), et k4 = f(xi + h, yi + hk3). Avec ces quatre valeurs de k, nous pouvons trouver notre prochaine valeur de y comme étant yi+1, qui est égale à yi + h((1/6)k1 + (1/3)k2 + (1/3)k3 + (1/6)k4).  Nous pouvons trouver notre prochaine valeur de x avec xi+1 = xi + h. Prenons nos valeurs initiales de x = 0 et y = 1. On peut les utiliser pour calculer la valeur de k1, qui dans ce cas sera égale à 0. On peut ensuite les utiliser pour trouver la valeur de k2, k3, puis k4. Nous pouvons ensuite prendre la moyenne pondérée de toutes ces valeurs pour trouver la valeur de y suivante à x = 0.5, ce qui nous donnera y = 0.9276. Nous pouvons répéter le processus à nouveau, en trouvant nos valeurs de k1, k2, k3 et k4 pour ensuite calculer la valeur de y à x = 1, qui est égale à 0.7218. Enfin, nous pouvons calculer nos k1, k2, k3 et k4 une dernière fois pour calculer la valeur de y à la valeur de x que nous cherchons. Donc à x = 1.5, y = 0.5041. Si nous traçons cette courbe, vous remarquerez que la méthode de RK4 nous donne une bonne estimation pour tous les points 0, 0.5, 1 et 1.5 de cette fonction.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo présente les systèmes d’ÉDO et de la manière dont ils peuvent être résolus simultanément à l’aide de l’une des méthodes décrites dans ce module.

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Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|08 et il s'agit de la théorie de la résolution des systèmes d'équations différentielles ordinaires.

Parlons de la théorie générale de la résolution des systèmes d'EDO. De nombreux systèmes d'ingénierie peuvent être définis par plusieurs équations différentielles ordinaires couplées. Des équations couplées signifie qu'elles sont connectées les unes aux autres et doivent être résolues simultanément. Par exemple, dans un réacteur, les débits sont liés à la pression et à la température dans le réacteur à un certain point et elles doivent être résolues ensemble. Voici un exemple simplifié où nous avons deux équations différentielles ordinaires couplées. Nous avons dy/dx = -2y + 4e-x et dz/dx = -yz3/3. Dans ce cas, notre variable indépendante est la même, qui est x, et nous avons deux variables dépendantes, y et z. Comme y apparaît dans la deuxième EDO, nous ne pouvons pas les résoudre séparément et nous devons les résoudre ensemble. Voici la notation générale de nos systèmes d'EDO. Nous avons des variables dépendantes y1, y2, yn, qui varient en fonction de la variable indépendante x. Ce que nous allons faire, c'est prendre nos EDO, par exemple dy1/dx et les écrire en notation d’une fonction f1(x,y1,y2,...,yn). Nous pourrions faire cela pour toutes les EDO que nous avons. Donc, nous avons dy2/dx égal à f2(x,y1,y2,...,yn). Notez ici que les fonctions sont énumérées en fonction de la variable dépendante, alors pour l’EDO de y1, ce sera notre fonction fet donc elles sont toutes légèrement différentes, juste en fonction des indices. Ce qui ne change pas par contre, ce sont les variables de chacune de ces fonctions. Maintenant, certaines fonctions peuvent avoir un y1 et un y2, et aucun yn, mais ici nous présentons simplement une notation générale que nous pouvons utiliser.

Pour résoudre les systèmes d'EDO, nous pouvons en fait utiliser n'importe laquelle des méthodes de Runge-Kutta que nous avons déjà vues. Prenons par exemple la méthode d'Euler. Nous avons yj,i+1,  où j représente ici le numéro de l'équation, est égal à yj,i +h fj(x1,y1,y2,...,yn). Ce que vous remarquerez ici, c'est que nous allons avoir besoin de valeurs initiales pour chacune des inconnues que nous recherchons. Nous aurons donc un x0 qui aura besoin d'une condition initiale pour y1,0, y2,0, jusqu’à yn,0. Notez qu’ici la valeur de h ne change pas et donc chaque pas que nous prenons pour chaque équation doit être la même. Regardons ce système d'EDO qui n'a que deux EDO. Nous avons cette ligne orange qui représente une EDO ainsi que cette ligne verte qui représente l’autre. Si nous utilisons la méthode d'Euler pour résoudre le problème, nous pourrions le faire et trouver des valeurs. Par contre, ce que vous allez remarquer, c'est que dans ce cas, une équation s'aligne bien parce qu'elle est assez linéaire, alors que l'autre un peu moins. Donc, la taille de pas, ou taille d’étape, de l'équation orange n'est pas assez précise. Nous devons donc réduire la taille du pas, mais il faudra la réduire pour les deux EDO en même temps. Nous sommes donc limités par l'équation la plus non linéaire ici, mais nous ne sommes pas limités à la méthode d'Euler pour résoudre les systèmes d'EDO. Nous pouvons utiliser toutes les méthodes. Voici la méthode de RK4 que vous pouvez utiliser pour résoudre le système d'EDO. Une chose qui est très important de noter, c’est que quand on résout les équations, on doit le faire dans un certain ordre. C'est-à-dire que nous résolvons d'abord toutes les valeurs de k1, pour toutes les fonctions, puis nous continuons avec toutes les valeurs de k2, k3 et k4. Nous ne pouvons pas résoudre pour les valeurs de k1, k2, k3, kpour une seule équation à la fois, car elle ne se retrouve pas au même endroit. En termes de notation, ce que nous avons ici est k1,1. Le premier 1 représente la valeur k que l'on cherche et le deuxième 1 représente la fonction. Donc k1,1 est la valeur de k1 pour la fonction 1, k1,2, est la valeur de k1 pour la fonction 2. Une fois qu'on a calculé ces valeurs, on peut passer à k2. k2,1 est pour la fonction f1. Ce que vous allez remarquer, c'est que nous allons utiliser les mêmes facteurs de pondération que précédemment vue pour la méthode de  RK4. Donc, pour ajuster les valeurs de y on utilise la moitié de h ici, et on va utiliser la moitié de h pour chacun des paramètres. Nous avons donc y1,0, donc la valeur initiale de l'équation 1 plus 1/2 fois hk1,1. Si nous avions un yn,0, alors ce serait 1/2 fois hk1,n. Il faut donc faire attention à toujours multiplier ces valeurs. Une fois qu'on a obtenu les k2, on peut calculer les k3 de la même façon. Ce que vous remarquerez, c'est qu'une fois de plus, notre fonction doit s'aligner et que nous allons maintenant ajuster par 1/2 de hk2,1 pour l'équation 1 et 1/2 de hk2,n  pour l'équation n. Donc rappelez-vous de bien ajuster vos paramètres. Enfin, nous pouvons calculer les k4. Pour ce problème avec 2 équations, nous allons calculer k4,1 et k4,2 pour obtenir toutes nos valeurs. On multiplie l’ajustement simplement par h, il n'y a pas de moitié ici, comme décrit dans le tableau de Butcher pour la méthode de RK4. Une fois que nous avons toutes ces valeurs, nous pouvons mettre à jour nos y. Nous avons donc y1,i+1 = y1,i +(h/6)*(k1,1 +2k2,1 +2k3,1 +k4,1). Vous remarquerez ici que nous additionnons toutes les valeurs de k liées à l'équation 1. On peut faire la même chose pour y2, et les additionner toutes ensemble. On peut continuer pour tous les fonctions que nous avons jusqu'à yn. Assurez-vous d’utiliser les valeurs des k respectives lors de l’addition.

Examinons un exemple simple maintenant. Nous pouvons prendre les deux équations présentées précédemment, c'est-à-dire dy/dx = -2y + 4e-x et dz/dx = -yz3/3. Ces équations peuvent être représentées par leurs fonctions f1 et f2. Notez que y1 = y et y2 = z pour conserver notre notation générale. Nous allons appliquer la méthode de Heun et donc la première équation de k que nous avons est donc k1,1 =f1(x0,y1,0,y2,0). Nous pouvons ensuite calculer notre valeur k1,2, donc voici notre fonction f2 et vous remarquerez qu'elle a la même liste de paramètres ici, donc x0,y1,0,y2,0. Une fois que nous avons nos deux valeurs de k1, nous pouvons les utiliser pour calculer nos k2. Nous allons donc calculer notre k2,1 et dans ce cas, vous remarquerez que l'addition à y1,0 est 1hk1,1 et que l'addition à y2,0 est 1hk1,2. Nous pouvons refaire la même chose pour k2,2, mais avec la fonction f2 et la même liste de paramètres, et avec cela, nous pouvons calculer notre y1,i+1 avec une valeur pondérée de (1/2)k1,1 et (1/2)k2,1. Finalement, nous pouvons répéter le même calcul pour notre y2,i+1 qui utilise les mêmes facteurs de pondération que précédemment. Donc avec ces équations, nous pouvons tout résoudre.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.

Description: This video implements the theory of the solving system of ODEs in a practice problem in a step-by-step approach.

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Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|09 et il s’agit d’un exemple étape par étape pour résoudre des systèmes d'équations différentielles ordinaires.

Examinons d'abord le problème. Résolvez le problème suivant à l'aide de la méthode de Ralston avec les conditions suivantes. Les conditions initiales sont: x0 = 0, y0 = 1, z0 = 1.5, nous prendrons une taille d’étape de h = 0.5 et le problème se terminera lorsque x atteindra 2, c'est-à-dire xf = 2. Les équations différentielles couplées sont dy/dx = -2y + 4e-x et dz/dx = -yz3/3. Nous allons résoudre le problème en utilisant la méthode de Ralston et rappel nos fonctions sont f1 = -2y + 4e-x et f2 = -yz3/3. En calculant nos valeurs de k, nous supposerons que y1 = y et y2 = z. Voici donc nos fonctions et nous allons résoudre d'abord pour les valeurs de k1 qui sont k1,1 et k1,2. Par après, nous trouverons les valeurs de k2 qui sont k2,1 et k2,2. Vous remarquerez que puisque nous utilisons la méthode de Ralston, nous avons les termes (3/4)h qui doivent être utilisés. Enfin, nous pouvons estimer les valeurs de y suivantes qui sont y1 et y2. Les équations pour y auront des facteurs de pondération de 1/3 et 2/3, respectivement. Nous pouvons également mettre à jour notre x, donc xi+1 = xi + h.

Commençons avec nos conditions initiales : x = 0, y = 1 et z = 1.5. Premièrement, nous pouvons calculer d'abord notre valeur de k1,1, qui est égale à 2, et notre valeur k1,2 qui est égale à -1.1250. Puis, on peut calculer nos valeurs de k2. Nous avons donc k2,1 et k2,2. Maintenant que nous avons nos valeurs de k2, nous pouvons calculer nos nouvelles valeurs de x, y, et z. Et donc x = 0.5, y = 1.0831 et z = 1.0688. Encore, nous calculons notre k1,1, k1,2, k2,1, et k2,2 et nous répétons les mêmes calculs pour obtenir nos prochaines valeurs de x, y, et z. On continue à prendre des pas, à calculer toutes les valeurs de k et à calculer tous nos nouvelles valeurs de x, y, et z jusqu’à ce qu’on arrive à notre dernière itération et dernière valeur de x où x = 2. Ceci donne une réponse de y = 0.4611 et z = 0.7701. Si nous regardons graphiquement les réponses ici, vous remarquerez que pour la méthode de Ralston (RK2), l’estimation pour une des fonctions n’était pas pire, donc la ligne verte et la ligne turquoise correspondent assez bien. Cependant, la ligne orange et la ligne rouge sont encore assez éloignées, ce qui signifie que nous devrions en fait réduire notre taille d’étape et prendre des pas plus petits en utilisant la méthode de Ralston ou peut-être utiliser une méthode plus puissante, comme la méthode de RK4.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.