Regardez ces cinq (5) vidéos en ordre. La durée totale est de 23 minutes. N'oubliez pas de tester vos connaissances à l'aide des tests de connaissances après chaque vidéo.

Description: Cette vidéo présente les équations non linéaires et comment manipuler l'équation pour trouver ses racines. Elle couvre également les cas d'asymptotes et de racines multiples.

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Bonjour cette vidéo est ENL|LV|01 et sera une introduction à la résolution d'équations non linéaires. Commençons par une brève introduction de ce que sont les équations non linéaires. Vous vous souvenez peut-être qu'une équation linéaire est une ligne droite passant dans un graphique.

La notation générale de cette équation est y = mx + b où m est la pente de la ligne et b est l'ordonnée à l'origine. Une équation non linéaire, comme son nom l'indique, est une équation qui ne suit pas une ligne droite. Une équation que vous avez peut-être vue est l'équation quadratique où y = ax2 + bx + c. Si nous voulons résoudre pour x lorsque y = 0, il existe une solution analytique que beaucoup d'entre vous devraient déjà connaître, x = -b ±√(b2-4ac)/(2a). La résolution pour x lorsque y = 0 est également connue sous le nom de résolution des racines d'une équation et, par conséquent, la résolution d'équations non linéaires est également connue sous le nom de recherche des racines. D'autres équations, même les plus simples, telles que ex = x2, n'ont pas de solution analytique et doivent être résolues numériquement.

Nous allons maintenant discuter de deux méthodes générales de résolution des équations non linéaires. Les premières sont les méthodes d’entourage. Avec ces méthodes, deux points sont nécessaires pour entourer la racine dans une intervalle, entre x1 et x2. Les méthodes peuvent alors être utilisées pour trouver l'estimation de la racine xR. Si la racine se trouve entre les deux points, l'intervalle est réduit et converge vers la racine. Les autres méthodes sont des méthodes ouvertes qui ne nécessitent qu'une seule estimation initiale de la racine. Généralement, ces méthodes nécessitent la dérivée ou une estimation de la dérivée pour pouvoir être résolues et peuvent converger très rapidement. Si l’estimé initial n'est pas une bonne estimation de la racine, la méthode peut diverger.

Tous les problèmes de recherche de racine doivent rendre l'équation égale à zéro, c'est-à-dire qu'il existe une fonction f(x) qui doit être égale à zéro. X est la variable que vous recherchez. Prenons par exemple l'équation précédente, exest égal à x2. On peut la réarranger en déplaçant x2 vers l'autre côté pour obtenir e- x= 0. Par conséquent, notre fonction est f(x) = e- x2. Voici un autre exemple où la capacité thermique cest égale à une fonction quadratique, A + BT + C T2. Si vous connaissez la température, il est facile de trouver la capacité thermique, mais il est parfois nécessaire de faire le chemin inverse et de trouver T. Comme il s'agit d'une équation quadratique, vous pouvez utiliser la formule quadratique ou une méthode numérique en déplaçant cP de l'autre côté de l'équation. Dans ce cas, nous aurons A + BT + CT2 - cP = 0, qui sera notre fonction f(T) que nous voulons résoudre. Examinons maintenant l'équation non linéaire cos(x) = x. Il est possible de représenter graphiquement cette fonction sous la forme y = cos(x) et y = x. La solution à ce problème se trouve à l'intersection des deux lignes. Le problème est que là où les lignes se croisent, il y a une certaine valeur y.  Nous ne savons pas cette valeur et il serait difficile de la prédire car chaque fonction est différente. Si nous rendons la fonction égale à zéro, nous savons que la valeur que nous recherchons est celle de y = 0 et nous pouvons le faire avec un simple test numérique. Si nous avons des points x1 et x2 et que la fonction traverse l'axe des x, alors f(x1)*f(x2) doit être inférieure à 0 ou négative. Veuillez noter que si l'équation a été résolue différemment, par exemple x - cos(x) = 0, la réponse est toujours vraie et la condition f(x1)*f(x2) < 0 est également vraie. Ce test est vrai à condition que l'équation non linéaire traverse l'axe des x.

Malheureusement, cela est également vrai pour les asymptotes, où les valeurs f(x1)*f(x2) seront inférieures à zéro. Cependant, lorsque x1 et x2 se rapprochent l'un de l'autre, les valeurs devraient se rapprocher de zéro s'il s'agit d'une vraie racine mais divergeront de zéro s'il s'agit d'une asymptote. Pour de nombreuses équations non linéaires, il peut y avoir plus qu'une racine. Bien qu'il puisse exister plusieurs racines dans un contexte d'ingénierie, il n'y a généralement qu'une seule racine qui a un sens physique. Par exemple, seule une racine positive aurait un sens pour une longueur ou pour le temps. Dans certains cas, il est nécessaire de déterminer plusieurs racines pour le problème. Les méthodes abordées dans ce cours et dans les vidéos suivantes permettent de résoudre plusieurs racines. Vous appliquerez simplement chaque méthode pour résoudre chaque racine individuellement et répéter autant de fois que nécessaire.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo présente une méthode simple par essais et erreurs pour trouver la racine d'une équation non linéaire.

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Bonjour cette vidéo est ENL|LV|02 et portera sur la théorie de la recherche incrémentale pour la résolution d'équations non linéaires. Commençons par discuter du principe de la recherche incrémentale. La recherche incrémentale peut être vue comme une approche par essai-erreur pour trouver la racine d'une équation avec la fonction f(x) connue et un point de départ x. Nous avançons par un incrément ou étape Δx. Maintenant que nous avons les points x et x+Δx, nous pouvons faire un test simple et vérifier si f(x)f(x+Δx) est moins de zéro. Si ce produit n'est pas négatif, alors nous continuons à avancer jusqu'à ce qu'il devienne négatif. Lorsqu'il est négatif, nous savons que la racine se trouve entre ces deux bornes x et x+Δx. Nous pouvons nous arrêter ici parce que nous savons où se trouve la racine, ou nous pouvons vérifier l’intervalle avec un incrément plus petit, par exemple, la moitié de Δx. Il suffit alors de vérifier cette région pour voir si la fonction croise l’axe des x. Si c'est le cas, nous continuerons à vérifier avec des incréments plus petits. Dans l'exemple présenté, la fonction traverse entre les limites et nous pouvons donc utiliser une taille d’étape encore plus petit, par exemple Δx/4.

Pour obtenir une meilleure estimation de la racine, décomposons cette opération en étapes graphiques. Commençons par la fonction représentée ici en orange. Nous avons maintenant un intervalle entre x et x+Δx. Nous pouvons évaluer si la fonction traverse l'axe des x dans cet intervalle. Ici, ce n'est pas le cas et nous devrons donc avancer d’une étape et réessayer. Nous continuerons l'approche par étapes jusqu'à ce que nous trouvions f(x)f(x+Δx) <0. Lorsque c'est le cas, au lieu d'avancer, faites un demi-pas à partir de là où vous êtes, et vous continuez cette procédure. Si la fonction traverse dans les limites, vous faites un demi-pas et si ce n'est pas le cas, vous continuez à avancer jusqu'à ce que vous le trouviez. Avec cette méthode, vous devez faire attention à ce que vous choisissez pour vos x et Δx. Si la taille d’étape est trop grande, vous risquez de dépasser les limites. Si vous faites un pas trop petit, vous risquez de mettre beaucoup de temps à trouver les limites, et si vous commencez après que la racine se soit produite, vous risquez de ne jamais trouver les limites. C'est une bonne idée d'essayer de représenter graphiquement la fonction avant d'utiliser cette méthode. Vous pouvez également travailler à l’envers avec un Δx qui est négatif. Si cela est fait correctement, alors vous finirez par vous rapprocher de la racine et le graphique de la fonction ressemblera une ligne droite. Lorsque vous pensez être suffisamment proche de la racine, vous prenez le point médian entre vos limites. Autrement dit, la racine est XR est égale à x+Δx/2.

Nous allons maintenant examiner l'algorithme. La première étape est d’évaluer f(x) et f(x+Δx). Continuez à avancer jusqu'à ce que f(x)f(x+Δx)< 0. Diminuez votre taille d’étape d'un facteur, habituellement un facteur 2. Répétez les étapes un à trois jusqu'à ce que vous atteigniez une critère d'arrêt, par exemple εest inférieur à εs. Dans ce cas, εa, votre approximation de l'erreur, va être égale à la formule suivante. La valeur absolue de Δx/2 divisé par x + Δx/2. Une fois que vous avez atteint ce point, vous pouvez définir la racine à xR = x+Δx/2.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo met en œuvre la théorie de la recherche incrémentale dans un problème pratique, selon une approche étape par étape.

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Hello, this is video NLE|VL|03 and it will be a step by step example of incremental search. First, let's discuss the problem. We will solve the following equation ex = x2. You can stop iterating when the approximation error is less than 1%. We will start with. x = 1 and Δx = -0.5. The first step in any non linear problem is to rearrange it. So we will take the ex = x2 and move the x2 to the other side to get f(x) = ex - x2. We will solve this problem using the following layout. In the top lefthand corner will be a graph representing the graphical solution to this problem. In the top righthand corner will be the important equations used to solve this problem. On the righthand side of this there will be a graph showing the error at the end of each approximation, which should go down the more iterations that occur. At the bottom of this layout will be the steps taking in a data table showing each calculation that's performed. Recall that the specific equation for this problem is f(x) = - x2+ ex. One of the equations you use most often is if f(x)f(x+Δx) <0. And finally we have our approximation of the error, which is Δx/2 over x +Δx/2 and the absolute value of that.

So let us begin. First, we will plot the graph between negative one and one, just to see if it crosses over the x- axis. Will use the initial conditions x = 1 and Δ= -0.5. x+Δx can easily be calculated by adding the two together. Next, we use the function -x2 + ex to calculate values at f(x) and f(x+Δx). Now that we have the f values we can calculate our important criteria to determine if we take a step or not. That is f(x)f(x+Δx). Is it less than zero? In this case it is not. Since it is not we cannot really calculate an error because the root is not between this interval, and since it's not between the interval, we will take a step Δx. Now x becomes x+Δx or 0.5 in this case. Our Δx does not change, so it stays at - 0.5. We are now back to where we started like our first iteration, we can calculate our x+Δx and then calculate our f(x) and f(x+Δx). Then we can test to see if the root crosses between these two points. In this case, again, it does not, and therefore we cannot calculate an error and we will continue on with iteration 3 by taking a step. Iteration 3 also does not have any bounds and therefore will be moving another step. From the graph in the top left hand corner you can see that it looks like the function will be crossing the x-axis, and sure enough it does in iteration 4. This means that an error can be calculated because it is crossing over the x-axis. The error is approximately 33% which is greater than the 1% we are looking for since the function across the x-axis. Instead of taking step Δx will be divided by two. Now we go back to having an x and a Δx, and the steps can be repeated with each iteration that crosses the x-axis. The error should be decreasing until we finally hit our εa is less than 1%. What you'll notice on the right-hand side is that the error is decreasing over the number of iterations and with the graphical plot you'll see that the line is getting straighter and straighter.

At the 13th iteration we finally hit our stopping criteria that εa is less than 1% Once we are below our 1%, we can stop and take our final estimate of the root. In this case the root xR is equal to x+Δx/2 and specifically in this it would be equal to -0.707. This problem is now complete with a solution.

This concludes the video. This project could not have been completed without the support of eCampusOntario and the University of Ottawa.

Description: Cette vidéo explique comment diviser systématiquement en parties égales une plage où la racine est présente, et comment réduire la plage, jusqu'à ce que la racine soit trouvée.

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Bonjour cette vidéo est ENL|LV|04 et se concentre sur la théorie de la méthode de bissection pour résoudre des équations non linéaires.

Discutons d’abord du principe derrière la méthode de bissection. La racine doit être comprise entre xL, la limite inférieure et xU, la limite supérieure. xL représente le plus petit nombre entre xL et xU. Une estimation de la racine connue sous le nom de xR est trouvée en prenant le point médian entre xL et xU. Cela peut être fait en ajoutant xL et xU ensemble et en divisant par deux. Avec xR, la région est maintenant divisée en deux sections égales, la première section entre xL et xR et la deuxième section entre xR et xU. Nous sommes maintenant chargés de déterminer où la fonction traverse l’axe des x. Est-ce qu’elle traverse dans la première section entre xL et xR ou dans la deuxième section entre xR et xU? Cela peut être fait en testant la condition si f(xL)*f(xR) <0. Si c’est le cas, alors la racine est dans la première section entre xL et xR et on change les limites de telle sorte que xU est maintenant le xR. Si la racine n’est pas dans cette section, alors elle est dans l’autre section où f(xR)*f(xU) < 0 et nous modifierons les limites pour que xL soit maintenant le nouveau xR. Maintenant que soit xL ou xU a été modifié, nous pouvons répéter le processus pour trouver la prochaine estimation de xR.

Regardons maintenant les étapes avec des aides graphiques. Commençons avec une fonction où f(x) = 0 qui traverse l’axe des x. Ce sera notre première itération i où nous avons les limites xL et xU, avec la fonction qui traversent l’axe des x entre ces deux points. Nous le savons parce que f(xL)*f(xU) est inférieur à zéro. Nous trouvons par après la première estimation de xR en prenant le point médian entre xL et xU. Dans ce cas xL est égal à 0, xU est égal à 2 et xR, qui est le point médian, serait égale à 1. Nous avons maintenant divisé les limites en deux sections et nous pouvons tester dans quelle section la fonction traverse l’axe des x. Donc, dans ce cas, soit f(xL)*f(xR) < 0 ou soit f(xR)*f(xU) <0. Pour cet exemple, la fonction traverse dans la deuxième section. Nous ajustons maintenant les limites et terminons notre première itération. Nous avons maintenant de nouvelles limites xL et xU et le processus peut être répété. Dans la deuxième itération, nous répétons les mêmes étapes. Nous trouvons le point médian entre xL et xU et nous déterminons où nous allons déplacer nos limites. Ces itérations peuvent être répétées jusqu’à ce que les critères d’arrêt soient atteint en fonction de la précision que vous souhaitez atteindre. Dépendant du problème, le nombre d’itérations peut varier entre quelques itérations jusqu’à des milliers d’itérations. Pour ce cas, nous arrêterons après 10 itérations et l’estimation de la racine xR serait 1.65723. Ce que vous remarquerez, c’est que sur l’axe des y, la valeur de y à ce point est assez proche de 0. Cela pourrait être l’un des critères d’arrêt.

Révision ensemble l’algorithme.

  • Étape 1 : Choisir deux points xL et xU qui délimitent la racine.
  • Étape 2 : Trouvez le point médian xR entre xL et xU.
  • Étape 3 : Si f(xL)f(xR) < 0, alors définissez xU = xR. Si ce n'est pas le cas, la racine se trouve dans l'autre section et vous pouvez donc définir xL = xR.
  • Étape 4 : Répétez les étapes 2 et 3 jusqu'à ce qu'un certain critère d'arrêt soit atteint, tel que εa < εs.
  • Étape 5 : La racine est finalement fixée au point médian de xL et xU.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo met en œuvre la méthode de bissection pour résoudre un problème en procédant étape par étape.

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Bonjour cette vidéo est ENL|LV|05 et s'agit d'un exemple étape par étape de la méthode de bissection pour résoudre des équations non linéaires. Examinons d'abord le problème. Résolvez l'équation suivante ex = x2 et arrêtez d'itérer lorsque votre erreur, εa, est inférieure à 1%. Pour ce problème, nous fixerons nos limites initiales comme xL = -1 et xU= 1. La première étape consiste à réarranger l'équation. Nous prenons ex = xet nous transférons les termes d’un côté. Ainsi, nous avons f(x) = ex - x2, qui est égal à 0.

Examinons maintenant les calculs. Nous allons diviser notre solution en plusieurs parties. Dans le coin supérieur gauche, nous verrons la solution graphique de la méthode de bissection. Dans le coin supérieur droit se trouvent les équations que nous utiliserons pour résoudre ce problème. Sur le côté droit se trouvera aussi un graphique qui montrera comment l'erreur diminue en fonction du nombre d'itérations. En bas, vous trouverez le tableau des itérations, qui vous permettra de visualiser tous les calculs. Examinons toutes les fonctions que nous avons. Tout d'abord, nous avons la fonction f(x) = ex - x2. Ensuite, nous avons l'équation de la racine qui sera xR = (xL +xU)/2. Enfin, nous avons l'estimation de l'erreur qui est εa = |(xR- xRi-1)/xRi|.

Représentons graphiquement la fonction entre nos limites, -1 et 1. Vous remarquerez que la fonction traverse l'axe des x, ce qui signifie que notre délimitation est correcte. On peut le constater numériquement en examinant les valeurs de f(xL) et f(xU). Vous remarquerez que le produit de f(xL) et de f(xU) est inférieure à 0. Maintenant nous pouvons calculer xR, qui est la moyenne entre xL et xU, dans ce cas la moyenne de -1 et 1 est 0. Une fois que nous avons xR, nous pouvons calculer f(xR) en utilisant notre formule. Normalement, nous pouvons calculer notre erreur εaà ce point, mais comme nous n'avons qu'une seule itération, nous ne pouvons pas le faire. Maintenant, nous pouvons déterminer où sont nos nouvelles limites. Ceci est fait en testant f(xL)*f(xR) et en déterminant si elle est inférieure à 0. Dans ce cas, c'est vrai, et donc les nouvelles limites seront entre xL et xR. Cela signifie que pour notre deuxième itération, xL sera -1 et xU  sera 0, ce qui était la valeur de xR dans l'itération précédente. Nous pouvons répéter le même processus, en calculant f(xL), f(xU), ainsi que xet f(xR). Avec une estimation de xR, nous pouvons calculer l’estimée de l’erreur. Dans ce cas, elle serait |(-0.5 - 0)/-0.5|, ce qui nous donne 100%. Maintenant, nous pouvons tester les limites à nouveau et nous pouvons voir que la racine croise entre xL et xR. Donc, pour l'itération 3, nous aurons de nouvelles limites où xL = -1 et xU = -0.5. Nous pouvons répéter le processus pour trouver le nouveau xRainsi que l'estimation de l'erreur. Dans cette itération, l'estimation de l'erreur est réduite à 33%.

En testant les limites avec f(xL)*f(xR) vous remarquerez que f(xL)*f(xR) > 0. Donc, dans ce cas, la racine est entre xRet xU. et nos nouvelles limites vont changer: xL = -0.75 et xU = -0.5. 

Maintenant nous pouvons continuer avec nos itérations, en calculant xR ainsi que l'estimation de l'erreur εa, jusqu'à ce que notre erreur soit inférieure à 1%. Pour ce problème, cela se produit après la 9ème itération. Vous remarquerez à droit dans le graphique que l'estimation de l'erreur diminue également de manière significative jusqu'à une valeur proche de 0%. Puisque εa est inférieure à 1%, nous pouvons maintenant trouver notre estimation de notre racine, qui est la dernière estimation de xR. Dans ce cas, xR = -0.707 et nous avons maintenant résolu ce problème.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.