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Description: Cette vidéo présente comment l'intégration de Romberg utilise deux estimations de la méthode de trapèzes pour trouver une réponse plus précise au problème.
Bonjour, cette vidéo est IN|LV|04 et il s'agit de la théorie de l'intégration de Romberg pour résoudre les problèmes d'intégration numérique.
Discutons d'abord du principe de l'intégration de Romberg. L'intégration de Romberg tente d'améliorer la méthode du trapèze comme suit. Supposons que la valeur exacte de l'intégrale, Iexact soit égal à la méthode du trapèze avec une distance h plus l'erreur, qui est e(h). Dans cette équation, nous pouvons supposer que vous faites un pas complet de h sur l'ensemble des limites de a à b. Maintenant, l'intégrale exacte peut aussi être égale à faire deux pas, ce qui serait égal à l’intégrale avec la méthode du trapèze ITRAP avec une distance h/2 plus son erreur associée e(h/2). Nous pouvons maintenant rendre ces deux équations égales l'une à l'autre et ce que nous devons trouver, c'est la relation entre les erreurs. En effet il existe une équation pour une estimation de l'erreur qui est - (b-a)/12 fois h2 fois la moyenne de la deuxième dérivée sur les limites de a à b, qui dans ce cas est f barre ''. Si nous prenons le rapport entre l'erreur e(h) et e(h/2), vous remarquerez que la plupart des termes s'annulent et nous obtiendrons une relation finale entre e(h), qui est 4 fois la taille de e(h/2). Nous pouvons maintenant réintégrer cette relation dans notre équation précédente. Dans ce cas, l'équation où nous avons mis l’intégrale avec la méthode du trapèze avec une taille de pas de h égale à l’intégrale avec la méthode du trapèze avec une taille de pas de h/2. Nous pouvons ensuite introduire les erreurs associées et résoudre pour e(h/2), qui sera lié aux deux méthodes trapézoïdales. Enfin, nous pouvons réintégrer ce résultat dans notre relation de l'intégrale exacte, Iexact, avec la méthode du trapèze utilisant la moitié de h. Et cela nous donne une estimation de l’intégrale exacte Iexact = (4ITRAP(h/2)-ITRAP(h))/3.
Regardons cela graphiquement en traçant une fonction. Nous pouvons trouver l'aire de cette fonction entre certaines limites. Dans cette figure, l'aire est représentée par le carré orange. Utilisons maintenant la méthode du trapèze sur les mêmes limites, mais en prenant qu'une seule valeur de h, qui sera une ligne droite. Son aire est représentée par le carré vert. Ensuite, nous allons reprendre la méthode du trapèze, mais cette fois-ci, nous prendrons deux demi-pas pour obtenir une estimation de l'erreur. Son aire est représentée par le carré turquoise. Vous remarquerez que le carré turquoise est plus proche de la surface réelle, ce qui est logique car nous utilisons plus de points de données et cela nous donnera une meilleure estimation de cette surface. Rappelez-vous que l'aire exacte serait représentée par (4ITRAP(h/2)-ITRAP(h))/3. Pour représenter cela visuellement, nous pouvons multiplier la surface de la quantité exacte par 3. Ensuite, nous pouvons prendre le carré turquoise et le multiplier par 4. Vous remarquerez que 4 fois ITRAP(h/2) est un peu plus grand que l’intégrale exact. C'est là que le petit carré vert entre en jeu. La zone en excès est égale à la méthode du trapèze avec une taille d’étape de h, c'est pourquoi vous la soustrayez de la valeur globale. Dans ce cas, les zones s'alignent très bien car la fonction était quadratique. Dans d'autres cas, avec d'autres fonctions, cela peut ne pas être aussi exact. Cependant, vous pouvez à nouveau diminuer la taille du pas pour obtenir une meilleure estimation de la racine et continuer par un processus itératif. En effet, vous pouvez utiliser ces estimations de Romberg de l'intégrale ensemble pour obtenir une estimation encore meilleure de l'intégrale. Ceci peut être réalisé en utilisant une extension de l'équation d'intégration de Romberg présentée ici.
Nous allons le démontrer avec un exemple. Il suffit d’abord de construire un tableau. Le tableau a des colonnes j, h, et ensuite un certain nombre de k, dont nous allons couvrir dans un moment. La première étape est de commencer avec la première itération à j = 1, qui prendra une taille de d’étape égale à la distance entière entre nos limites, h. Lorsque k = 1, cela revient à appliquer la méthode du trapèze. Dans ce cas, l'aire ne serait pas tout à fait exacte et la valeur de la méthode du trapèze indiquée ici serait juste de 0.2. Nous avons besoin d'une autre estimation de notre aire et nous allons le faire avec notre j = 2, ce qui signifie que notre h est maintenant divisé par deux. Nous pouvons trouver notre k = 1, toujours avec la méthode du trapèze, en faisant deux demi-pas sur le même intervalle. Dans ce cas, l'estimation de l'intégrale est de 3.325. Maintenant que nous avons les deux estimations, nous pouvons appliquer l'équation de Romberg. L'équation générale ici peut être simplifiée lorsque k =2, qui devient Ij,2 = (4Ij+1,1 - Ij,1)/3. Cela donne une estimation de l’intégrale d’approximativement 4.367. Nous pouvons maintenant obtenir une autre estimation de l'erreur en divisant h par 4, ce qui se produira lorsque j = 3. Nous pouvons appliquer la méthode du trapèze aux quatre sections actuelles et remplir le tableau à k = 1. Maintenant, nous avons à nouveau deux estimations en utilisant h/2 et h/4 et cela signifie que nous pouvons à nouveau utiliser l'équation de Romberg pour obtenir une autre estimation de l'intégrale. Nous avons maintenant deux estimations de l'intégrale à k =2. Nous pouvons donc utiliser la formule d'intégration généralisée de Romberg pour trouver la meilleure estimation lorsque k= 3. L'équation devient Ij,2 = (16Ij+1,2 - Ij,2)/15. Cela donne une réponse d'environ 4.7833 lorsque k = 3. Nous pouvons donc faire une autre itération avec j = 4 et h est égal à h/8. Nous pouvons continuer à utiliser les formules respectives pour k = 2 et k = 3, et la formule pour k = 4 est (64Ij+1,3 - Ij,3)/63. Vous remarquerez que nos réponses convergent à mesure que nous nous déplaçons vers la droite et notre réponse finale est 4.7833.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo met en œuvre la théorie de l’intégration de Romberg dans un problème pratique, selon une approche étape par étape.
Bonjour, cette vidéo est IN|LV|05, et il s'agit d'un exemple étape par étape de l’intégration de Romberg pour résoudre des problèmes d'intégration numérique.
Tout d'abord, examinons le problème. Résolvez l'intégrale suivante. L'intégrale entre 0 et 3 de x*sin(x)exdx. Examinons la disposition de la solution. En bas, un tableau d'intégration de Romberg; en bas à droite, un tableau de points de données; en haut à droite se trouveront les équations qui seront nécessaires pour résoudre ce problème et en haut à gauche, le graphique de l’intégrale entre les limites que nous avons. L'équation que nous avons est f(x)=x*sin(x)*ex avec les limites a = 0 et b = 3. Ce que nous utiliserons lorsque k = 1 est la méthode du trapèze qui peut être utilisée pour de points multiples dont les données sont également espacées. On a aussi l'autre équation lorsque k ≠ 1 et cette formule générale inclus les corrections qu'on va utiliser pour avoir une meilleure estimation de l'intégration. Voici le graphique de la fonction. Vous pouvez voir qu'elle est assez non linéaire et on cherche l'aire sous cette courbe. Commençons lorsque j = 1, nous allons prendre un pas complet de h, c'est-à-dire b - a ou 3 dans ce cas. Donc on peut prendre quelques points de données ici quand x = 0 et x = 3. Cela nous donnera la méthode du trapèze, comme le montre ce graphique. Avec ces valeurs, nous pouvons calculer l'aire qui, lorsque j = 1 et k = 1, est de 12.755. Nous avons besoin d'une autre estimation de la surface, donc nous allons faire j = 2, ce qui signifie que nous allons couper notre h en deux et prendre deux pas ici. On a besoin d'un point de données supplémentaire à x = 1.5 et maintenant nous pouvons utiliser la méthode du trapèze pour déterminer la valeur à j = 2 et k = 1. Dans ce cas, elle sera de 16.43. Maintenant que nous avons deux estimations à k = 1, nous pouvons utiliser l'équation d'intégration de Romberg, qui nous donnera 17.663. L'équation d'intégration de Romberg serait 4 fois 16.43 moins 12.755, tout divisé par 3, car k = 2 dans ce cas.
Nous allons continuer avec ce processus, pour j=3 et nous aurons notre h divisé par quatre. Il nous faut donc des points de données supplémentaires à x = 0.75 et x = 2.25. Avec cela, si on utilise la méthode du trapèze pour obtenir notre réponse, on aura 21.487. Maintenant que nous avons ces deux valeurs, nous pouvons utiliser les valeurs à j = 2 et j = 3 pour trouver une autre estimation à k= 2 en utilisant la formule de Romberg. Dans ce cas, nous obtiendrons 4 fois 21.487 moins 16.43, le tout divisé par 3. Maintenant, vous remarquerez que nous avons deux valeurs de k = 2, ce qui signifie que nous pouvons à nouveau appliquer la formule. Cependant, dans ce cas, k = 3. Quand on fait ça, on commence à converger vers 23.538. Dans ce cas, cela aurait été 16 fois 23.170 moins 17.663, le tout divisé par 15, car k= 3 et non 2. Nous allons maintenant faire une autre itération avec j = 4 et h est divisé par 8, c'est-à-dire que les bornes entre 0 et 3 ont été divisées par 8, ce qui nous donnera tous les points de données dont nous avons besoin pour ce problème. Cela nous donnera une bonne estimation de l'aire déjà avec la méthode du trapèze. Nous pouvons utiliser la méthode du trapèze pour trouver quelle est la valeur de k = 1 et j = 4. Maintenant qu'on a évalué j =3 et 4, on peut s'en servir pour trouver une valeur de k = 2 en utilisant l'équation de Romberg. Nous avons à nouveau deux valeurs que nous pouvons utiliser pour trouver quand k = 3. Puisque nous avons deux valeurs à k = 3, nous pouvons utiliser l'équation de Romberg une dernière fois pour quand k = 4, qui est l'équation de 64 fois 23.636 moins 23.538, le tout divisé par 63. Ce que vous remarquerez, c'est que les valeurs ont commencé à converger vers une valeur de 23.64. Ceci nous donne une valeur finale de 23.638 comme solution. Finalement, on a trouvé l'aire du mieux qu'on pouvait sous cette courbe.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo présente la quadrature de Gauss, qui utilise des points intermédiaires prédéterminés dans l'intégrale pour prédire une meilleure estimation de la solution.
Bonjour, cette vidéo est IN|LV|06 et il s’agit de la théorie de la quadrature de Gauss pour résoudre les problèmes d'intégration numérique.
Discutons d'abord du principe de la quadrature de Gauss. Commençons en regardant le graphique d'une fonction. Comme précédemment, nous pouvons prendre l'aire sous la courbe pour représenter l'intégrale de f(x)dx. Estimons maintenant l'aire sous cette courbe à l'aide de la méthode du trapèze. Nous supposerons qu'il y a un pas entre les bornes de a à b. Nous devons remarquer ici que la méthode du trapèze, désignée par I, a la valeur de 0.1 alors que la vraie réponse est approximativement 2.67. Donc, bien sûr, vous pouvez prendre plus de pas avec la méthode du trapèze pour la rendre plus précise. Cependant, les méthodes de quadrature de Gauss sont en fait plus efficaces ici. La quadrature de Gauss utilise les points intérieurs de la fonction pour obtenir une meilleure estimation de l'aire. Vous remarquerez ici que si nous utilisons certains points de cette fonction, nous pouvons obtenir une réponse très précise par rapport à la réponse réelle. Déterminons ces points. Rappelez-vous que l'intégrale que nous recherchons est I est égale à l'intégrale de a à b de f(x)dx. La quadrature de Gauss à deux points fonctionne en additionnant deux valeurs de points intérieurs, x0 et x1, et en les pondérant par les facteurs c0 et c1. Pour utiliser la méthode, nous devons déterminer les valeurs de x0, x1, c0 et c1. Comme il y a quatre inconnues, nous aurons besoin de quatre équations. Ce que nous pouvons supposer, c'est que la fonction f(x) a quatre équations différentes pour commencer. Nous supposerons que f(x) = 1, f(x) = x, f(x) = x2 et f(x) = x3. Nous pouvons maintenant prendre ces équations et les insérer dans la fonction pondérée présentée précédemment. Nous savons que ces valeurs doivent être égales à l'intégrale de f(x)dx. Dans ce cas, nous supposerons que les limites sont comprises entre -1 et 1. Avec ces limites, l'intégrale peut être considérée comme une valeur constante. Ces quatre équations peuvent maintenant être résolues simultanément pour c0, c1, x0 et x1. Il s'agit que c0 et c1 sont égales à 1, x0 = -1/√3, et x1 = 1/√3. Donc la quadrature de Gauss, parce qu'elle est basée sur des équations jusqu'à une équation cubique, est bonne pour estimer des intégrales pour des équations cubiques.
Prenez par exemple cette fonction ici avec la quadrature de Gauss à 2 points. Malheureusement, cela ne donne pas une réponse précise à la solution, et donc d'autres méthodes de quadrature de Gauss peuvent être utilisées. Par exemple, la quadrature de Gauss à 3 points qui utilise 3 points au lieu de 2 donne une réponse plus précise à la solution. Dans ce cas, la solution est précise à cinq décimales près. Comme vous pouvez l'imaginer, en effectuant la même procédure avec quatre points, on obtiendrait également une solution assez précise. Voici les valeurs ci et xi pour la quadrature de Gauss à 2 points, 3 points et 4 points. La quadrature de Gauss n'est qu'une application des facteurs de pondération fois une certaine fonction aux points intérieurs, en fonction du nombre de points que vous souhaitez utiliser. Les points de la quadrature de Gauss sont utilisés lorsque les limites de l'intégrale sont comprises entre -1 et 1. Donc, que se passe-t-il lorsque les limites sont comprises entre a et b ? Heureusement, nous pouvons traduire nos valeurs à l'aide d'une formule simple. La formule est xi =((b + a) +(b-a)xdi/2. xdi est dans ce cas les points de la quadrature de Gauss dont les limites sont comprises entre -1 et 1. Cela donnera donc un terme supplémentaire après la somme de tous les facteurs pondérés. L a quadrature de Gauss devient ((b - a)/2) fois la somme de cif(xi). La quadrature de Gauss permet généralement d'obtenir une solution précise avec un nombre très limité de points de données.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo met en œuvre la théorie de la quadrature de Gauss dans un problème pratique, selon une approche étape par étape.
Bonjour, cette vidéo est IN|LV|07, et il s'agit d'un exemple étape par étape de l'utilisation de la quadrature de Gauss pour résoudre des problèmes d'intégration numérique.
Tout d'abord, examinons le problème. Résolvez l'intégrale suivante avec la quadrature de Gauss à 2 points, 3 points et 4 points. Le problème est l'intégrale de 0 à 3 de x*sin(x)*ex dx. Nous allons commencer par créer un tableau d'intégration en bas. Le tableau contient les colonnes i, xdi, ci, xi, f(xi), et cif(xi). Nous commencerons d'abord avec la quadrature de Gauss à 2 points, donc nous n'avons besoin que de deux lignes dans le tableau. Examinons les équations. Tout d'abord, nous avons notre fonction x*sin(x)*ex et les limites a = 0 et b = 3. Ensuite, nous avons l'équation que nous utiliserons pour mettre à l'échelle les valeurs de la quadrature de Gauss, qui sera xi = ((b+a)+(b-a)xdi)/2. Enfin, nous aurons une équation d'intégration finale, qui est I = (b-a)/2 fois la somme de cif(xi). Voici un graphique de la fonction entre les limites. Puisque nous utilisons la quadrature de Gauss à 2 points, nous pouvons rechercher les valeurs xdi et ci. La première valeur de xdi à i=0 est -0.57735, ce qui est la même chose que -1/√3. Pour ci, c'est une valeur de 1. Le deuxième point xdi est 0.55735 ou 1/√3 et la valeur de ci, le facteur de pondération, est 1. Nous pouvons maintenant utiliser les valeurs de xdi et l'équation de mise à l'échelle pour trouver les valeurs de xi, qui dans ce cas sont approximativement 0.634 et 2.366. Il convient de noter que ces valeurs de x, si elles sont correctement calculées, devraient se situer entre vos limites initiales, qui dans ce cas sont a = 0 et b = 3; et cela est le cas. Ensuite, nous utiliserons l’équation f(x) pour déterminer les valeurs de f(x) pour ces deux points, qui seront approximativement 0.7 et 17.6. Nous pouvons maintenant multiplier les valeurs avec ci, les facteurs de pondération, par les valeurs de f(x) pour obtenir une estimation de la réponse. Dans ce cas, nous multiplions par un, il n'y a donc pas grand-chose à changer. Ensuite, nous pouvons additionner ces valeurs de cif(xi), ce qui nous donne 18.35. Ce que nous devons faire pour trouver l'intégrale maintenant, c'est multiplier cette valeur par (b-a)/2, ce qui donne une valeur de 1.5 et cela nous donne comme réponse approximative de l'aire une valeur de 27.54. Si l'on reportait cette valeur sur le graphique original, on obtiendrait une représentation de la méthode de trapèze similaire à celle illustrée ici.
Ensuite, nous allons essayer la quadrature de Gauss à 3 points. Nous allons donc utiliser les mêmes équations que précédemment, mais dans ce cas, nous aurons trois points de i = 0 à 2. Le premier point a une valeur de xdi = -0.7746 et un facteur de pondération ci de 0.556. Le deuxième point a une valeur de xdi = 0, et un facteur de pondération ci de 0.8889. Et enfin, pour le dernier point xdi = 0.7746 et le facteur de pondération ci est 0.556. Nous pouvons utiliser les valeurs xdi pour trouver les valeurs xi avec une formule et ce que vous remarquerez ici, c'est que les points se situent à nouveau entre a = 0 et b = 3. Le point central, qui est xdi = 0, nous donne une valeur xi de 0.5, qui se situe en fait au milieu des deux limites. Rappelez-vous que xdi est compris entre -1 et 1, le point médian étant 0 et le point médian pour xi serait 1.5, car il est compris entre 0 et 3. Maintenant que nous avons nos valeurs xi, nous pouvons obtenir nos valeurs f(xi) en utilisant notre fonction. Avec notre fonction et les facteurs de pondération ci, nous pouvons calculer cif(xi). Maintenant que nous avons ces valeurs, nous pouvons les additionner pour obtenir 15.82. Nous pouvons ensuite trouver notre intégrale lorsque nous mettons à l'échelle la valeur de la somme par (b-a)/2. Cela nous donne une valeur de 23.74 comme réponse finale. Voici à quoi ressemblerait le graphique si nous traçons une équation quadratique avec les points intérieurs donnés par la quadrature de Gauss. Vous voyez qu’elle s'aligne un peu mieux avec l’aire que nous avons.
Ensuite, nous allons faire la quadrature de Gauss à quatre points, en utilisant les mêmes équations, mais dans ce cas, nous allons avoir 4 points à utiliser. Pour les points de la quadrature de Gauss, lorsque i = 0, nous avons xdi = - 0.86114 et un facteur de pondération de 0.3478, et il s'agit que le quatrième point de données i = 3 est très similaire, sauf qu'il s'agit de la valeur positive de xdi avec le même facteur de pondération. Les deux autres points, quand i =1 et 2 sont aussi très similaires sauf pour i = 1, nous avons -0.33998 et une valeur positive de cela pour i= 2. Ils ont les mêmes facteurs de pondération de 0.65214. Ensuite, nous pouvons retrouver nos valeurs de xi en utilisant notre formule. Vous remarquerez à nouveau que toutes ces valeurs sont comprises entre 0 et 3, ce qui signifie simplement que tout a été calculé correctement. Nous pouvons maintenant prendre nos valeurs xi et trouver f(xi) à l'aide de notre fonction. Maintenant que nous avons les valeurs f(xi), nous pouvons les multiplier par les valeurs ci pour obtenir cif(xi). Puisque nous avons toutes ces valeurs, nous pouvons les additionner pour obtenir la somme de toutes ces valeurs et avec la somme de toutes ces valeurs, nous pouvons la multiplier par (b-a)/2 pour obtenir l'estimation de l'intégrale. Ainsi, notre réponse finale pour l’intégrale en utilisant la quadrature de Gauss à 4 points est d'environ 23.63. Ceci nous donne un graphique comme celui présenté ici, couvrant la majorité de l’aire sous ces limites. Ceci est la fin de l’exemple.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.