Ces problèmes supplémentaires sont destinés aux élèves qui souhaitent disposer d'une série de questions supplémentaire pour pratiquer. Ces problèmes n'ont pas de solution affichée, les élèves doivent donc réfléchir aux moyens de déterminer si leur réponse est correcte. N'hésitez pas à discuter avec vos camarades pour résoudre ces problèmes.

Résous les équations suivantes à l’aide de l’élimination naïve de Gauss.

$$\begin{align} -0.55x_1+9.95x_2+1.41x_3+2.94x_4 &= 64.207 \\ -4.74x_2-5.62x_3-8.77x_4&=-61.751 \\ -5.31x_1-9.88x_2+4.36x_3-6.12x_4 &=-78.818 \\ 8.33x_1-4.12x_2-4.74x_3+4.88x_4 &=-2.62 \end{align}$$

Résous les équations suivantes à l’aide de l’élimination de Gauss, en utilisant le pivotement partiel et la mise à l’échelle

$$\left[ \begin{matrix} 1&6&2&5&15&8&14\\-5&3&5&0&6&-4&7\\2&-1&1&13&8&1&9\\11&-5&14&6&7&6&9\\3&4&3&2&11&14&7\\1&-1&6&1&6&9&5\\8&0&10&-4&2&2&8 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 283.9\\57.7\\207.9\\220.3\\226.4\\127.4\\95 \end{matrix} \right]$$

Décomposez la matrice suivante [A], puis résolvez différentes matrices [B]. Vérifiez votre décomposition en vous assurant que [L][U] = [A].

$$\begin{align}\left[ A \right]= \left[ \begin{matrix} -2.8&1&2&4&0.1\\-2.4&-2.1&2.4&-3.6&2.4\\-1.5&0.3&-4.9&-1.2&4.4\\1.4&-4.3&1.6&4.3&0.1\\-4.4&3.9&4.1&4.5&4.6 \end{matrix} \right] &&\left[ B_1 \right]= \left[ \begin{matrix} -84.3\\12.3\\21.4\\-10\\-141.1\end{matrix} \right]& &\left[ B_2 \right]= \left[ \begin{matrix} -69.2\\17.1\\72.3\\-14.8\\-65.5\end{matrix} \right] \end{align}$$

Utilisez l’algorithme de Thomas pour résoudre la matrice suivante avec deux matrices B différentes.

$$\begin{align}\left[A\right]= \left[ \begin{matrix} -14&12&0&0&0&0&0&0&0&0 \\ 14&-11&15&0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&2&7&-7&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&9&-1&8&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&-5&5&9&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&11&9&2&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&12&4&10&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&14&14&10&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&13&-14&14 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&3&4 \\ \end{matrix} \right] & \left[B_1\right]= \left[ \begin{matrix}-162.88 \\ 285.77\\-65.18\\127.9\\91.29\\271.66\\379.46\\498.02\\151.45\\69.46\end{matrix}\right] \left[B_2\right]= \left[ \begin{matrix}-126.2\\375.32\\55.5\\264.5\\99.09\\272.57\\202.24\\335.22\\113.46\\78.84\end{matrix}\right]\end{align} $$

Réorganisez les équations suivantes et utilisez Gauss-Seidel pour trouver une réponse. Assurez-vous que les équations sont diagonalement dominantes pour assurer la convergence.

$$\begin{align} 3x_1+6x_2+9x_3+4x_4&=68.3 \\ 8x_1+3x_2+4x_3-1x_4&=10.5 \\ 1x_1+4x_2+4x_3+9x_4&=46.8 \\ 2x_1+10x_2+5x_3+3x_4&=65.5 \\ \end{align}$$

Résolvez l’ensemble d’équations non linéaires suivant à l’aide de la méthode Newton-Raphson.

$$\begin{align} -0.55x_1+9.95x_2+1.41x_3+2.94x_4 &= 64.207 \\ -4.74x_2-5.62x_3-8.77x_4&=-61.751 \\ -5.31x_1-9.88x_2+4.36x_3-6.12x_4 &=-78.818 \\ 8.33x_1-4.12x_2-4.74x_3+4.88x_4 &=-2.62 \end{align}$$

Des bonnes estimations initiales pour la méthode de Newton-Raphson sont x1 = 1, x2 = 3.