Regardez ces cinq (5) vidéos en ordre. La durée totale est de 29 minutes. N'oubliez pas de tester vos connaissances à l'aide des tests de connaissances après chaque vidéo.

Description: Cette vidéo présente les équations différentielles ordinaires et leur importance dans le domaine de l’ingénierie.

Transcription de la vidéo Hide Video transcript

Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|01 et c'est une introduction à la résolution des équations différentielles ordinaires.

Commençons avec une brève introduction sur les équations différentielles ordinaires. De nombreux problèmes d'ingénierie sont décrits par des équations différentielles, car il est souvent plus facile de décrire une fonction par rapport au temps, à la position, etc. Il existe un petit sous-ensemble de systèmes qui peuvent être simplifiés et résolus analytiquement. Par exemple, les équations d'Ergun ou de Bernoulli. Examinons ici l'équation d'Ergun qui décrit comment la pression, P, évolue le long d'un réacteur à lit fixe de longueur z. Les variables du côté droit de l'équation aident à décrire le fluide et les particules dans le système. Par exemple, la viscosité µ et le diamètre des particules DP. Si toutes les variables du côté droit peuvent être supposées comme constantes, alors cette équation se simplifie considérablement pour être ∆P est égal à, tous ces constantes fois ∆z. Cependant, la majorité des systèmes sont plus complexes et doivent être résolus numériquement.

Examinons une équation différentielle simple. Nous avons dy/dx, qui est le changement de y par rapport à un changement de x, qui est décrit par 9x2 +2x+1. Dans ce cas, y est la variable dépendante et x est la variable indépendante. L'équation donnée ici ne dépend que de la variable indépendante x. Voici un autre exemple. Nous avons dy/dx est égal à sin(x) +sin(y). Dans ce cas, l'équation est basée à la fois sur la variable indépendante et la variable dépendante. Enfin, examinons celle-ci. Nous avons dz/dt est égal à 4(1-e^(-z2)). Dans ce cas, l'équation est uniquement basée sur la variable dépendante. Ce module se concentre uniquement sur les équations différentielles ordinaires. Les équations différentielles ordinaires ou EDO peuvent être décrites sous la forme d'un graphique 2D et leur comportement peut être facilement visualisé. Elles nécessitent des conditions aux limites, qui seront abordées plus tard et elles sont relativement faciles à résoudre. Une équation différentielle ordinaire a une variable indépendante. Par exemple, dans celle donnée ici, dX/dV, qui représente la conversion dans un réacteur par rapport à son volume, est égal à k*(1- X)/FA0, qui est le débit initial de l'espèce A. Remarquez ici qu'il n'y a qu'une seule variable indépendante qui est V. Cependant, une équation différentielle partielle, a au moins deux variables indépendantes. Dans ce cas, nous avons 4(∂u/∂x)-3(∂u/∂y)=-1. Nous cherchons donc à observer comment la variable u change par rapport à x ainsi que par rapport à y. Dans ce module, nous nous concentrerons uniquement sur les équations différentielles ordinaires.

Revoyons notre équation dy/dx = 9x2 -2x+1. Cette équation est en fait relativement facile à résoudre. C'est un polynôme et nous pouvons le résoudre en intégrant pour obtenir y =  3x3 -x2 +x +C. C est une constante et nous devons connaître les valeurs initiales pour pouvoir résoudre cette équation pour un ensemble spécifique. Sinon, nous aurions un nombre infini de solutions différentes, comme le montre ce graphique. Si nous avons des valeurs initiales pour ce problème, par exemple si x0 est égal à 0 et y0 est égal à un, nous aurions une solution unique. Vous verrez ici que lorsque x0 = 0, y0 = 1 pour notre solution. C'est ce qu'on appelle un problème de valeur initiale, ou PVI, qui nécessite une sorte de valeur initiale. Nous pouvons également avoir des problèmes de valeurs aux limites ou aux bornes où, au lieu d'avoir x = 0, nous avons x égal à une certaine valeur, par exemple L étant la longueur d'un réacteur.

Enfin, pour ce module, il suffit de noter que nous définirons la fonction f(x,y) comme étant la pente que nous recherchons pour décrire dy/dx. Donc pour ce module, on utilisera la notation f(x,y) pour représenter les pentes.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo présente la méthode simple du 1er ordre d’Euler pour résoudre les problèmes d’ÉDO.

>
Transcription de la vidéo Hide Video transcript

Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|02, et il s’agit de la théorie de la méthode d'Euler pour résoudre des équations différentielles ordinaires.

Voyons d'abord la théorie générale de la méthode d'Euler. Pour rappel, notre EDO est représentée par dy/dx, qui est le changement de y par rapport à un changement de x. La notation que nous utilisons ici est f(x,y). Si dy/dx est notre pente, nous pouvons alors trouver notre pente entre deux points, i et i+1 comme étant (yi+1 - yi)/(xi+1 - xi). Si nous réorganisons cette relation pour trouver yi+1, nous obtenons yi+1 = yi +f(xi,yi)h. Ceci est l'équation d’Euler. h est la distance entre les points xi et xi+1 et on l'appelle également la taille d’étape ou la taille du pas. Une autre notation que nous pouvons utiliser pour cette fonction f(x,y) est k1. Cela permet de raccourcir l'équation en yi+1 = yi +hk1. Le k représente ici la pente. En multipliant k par h, on obtient une valeur y et en l'ajoutant à yi, on obtient la nouvelle valeur yi+1. Une fois ce calcul effectué, nous pouvons prendre une étape de h pour la valeur de x et continuer le même processus avec de nouvelles valeurs de x et de y jusqu'à ce que nous atteignions un point que nous aimerions arrêter. 

Voyons cela graphiquement. Disons que nous avons une fonction représentée par la ligne orange ici et que nous voulons résoudre de xi à xi + h. Nous connaissons la pente à xi, qui est équivalente à k1. Ce que nous faisons avec la méthode d'Euler, c'est que nous supposons que cette pente est constante entre xi et xi + h. Nous pouvons tracer une ligne droite à partir de xi en suivant cette pente jusqu'à xi + h. Vous remarquerez que dans ce cas, la méthode d'Euler n'est pas proche de la vraie réponse. Donc, ce que vous devez faire, c'est prendre des tailles d’étape, h, plus petits pour obtenir une meilleure réponse. Examinons un peu plus cette taille d’étape. Nous avons notre fonction f(x,y) = (10ex - 3y)/(1 + 3x) et elle est représentée graphiquement ici par la ligne orange. Supposons que nous utilisions la méthode d'Euler et que nous prenons un pas de h. Ce que vous remarquerez ici, c'est que la réponse est assez inexacte avec cette taille de pas. Supposons que nous prenions deux fois plus de points, et donc nous diviserons h par 2. Vous remarquerez que notre réponse se rapprochera de la vraie réponse dont nous avons besoin. Si nous divisons à nouveau ces points par deux, pour en prendre deux fois plus, ce qui équivaut à un h/4, nous nous rapprocherons également de la réponse, mais nous n'y sommes pas tout à fait. La méthode d'Euler est donc une excellente méthode simple à utiliser, mais elle est très sensible à la taille d’étape. Typiquement, il faut utiliser une taille d’étape très petite pour obtenir une réponse précise.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo présente la méthode simple du 1er ordre d’Euler pour résoudre les problèmes d’ÉDO.

Transcription de la vidéo Hide Video transcript

Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|03 et il s’agit d’un exemple étape par étape de l'utilisation de la méthode d'Euler pour résoudre une équation différentielle ordinaire.

Tout d'abord, examinons le problème. Résolvez le problème suivant avec la méthode d'Euler et les conditions suivantes. Nos conditions initiales sont: x0 = 0, y0 = 1, h, notre taille d’étape ou taille de pas est égal à 0.5 et xf, la valeur finale que nous voulons atteindre est égale à 1.5. L'équation est dy/dx =xcos(x)/(1-ey). Pour rappel, nous avons donc f(x,y) égale à notre dérivée, qui est xcos(x)/(1 - ey). Dans le coin inférieur gauche, nous avons un tableau que nous utiliserons pour effectuer nos itérations. Nous avons quatre colonnes, i pour les itérations, x, y et k1, qui représente notre pente. k1 est égal, bien sûr, à f(x,y). Pour obtenir une estimation de y, nous utiliserons yi+1 = yi +hk1. Nous pouvons également introduire l’équation pour notre prochain x, qui serait xi+1 = xi + h, donc on avance d’un pas. À l’itération 0, nous pouvons commencer avec nos valeurs initiales et x et y qui sont 0 et 1 et nous pouvons prendre ces deux valeurs et les insérer dans notre équation pour calculer k1, qui dans ce cas est en fait égal à 0. Maintenant que nous avons cette valeur, nous pouvons ajuster nos x et y et passer à l'itération suivante. Ici, nous obtiendrons x = 0.5 et y = 1. Nous pouvons maintenant calculer à nouveau notre k1 pour obtenir -0.2554. Ensuite, il suffit d’utiliser ces valeurs pour calculer les valeurs de notre prochaine itération, donc x = 1 et y = 0.8723. Nous pouvons calculer notre valeur k une autre fois pour obtenir une valeur de -0.388. Et finalement, nous arrivons à notre dernière itération en nous arrêtant à x = 1.5. On peut également obtenir notre valeur finale de y, qui est de 0.6783. Voici une représentation graphique de nos itérations. La ligne en orange représente la vraie réponse et la ligne en bleue représente les estimations de nos calculs de 0 à 0.5, puis à 1 et ensuite à 1.5. Ce que vous remarquerez, c'est que la méthode d'Euler n'était pas tout à fait précise pour ce que nous voulions. Pour l'améliorer, nous devrions réduire notre taille d’étape et prendre plus de pas pour arriver à notre x finale.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo présente des améliorations par rapport à la méthode d’Euler en utilisant des méthodes de prédiction-correction, telles que les méthodes du point médian, de Heun et de Ralston.

Transcription de la vidéo Hide Video transcript

Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|04 et il s'agit de la théorie des méthodes du deuxième ordre pour la résolution des équations différentielles ordinaires.

Examinons d'abord la théorie générale des méthodes du deuxième ordre. Dans une vidéo précédente, nous avons discuté la méthode d'Euler. Dans certains cas, lorsque la taille de l'étape h est suffisamment grande, la méthode d'Euler ne fournit pas une réponse précise à la solution. Les méthodes du deuxième ordre fonctionnent comme des méthodes prédicteur-correcteur où elles estiment la pente à deux points différents. Par exemple, ici, nous avons k1, qui était l'estimation de la pente à xet cela nous a donné une estimation de y qui n'était pas tout à fait précise. Si on observe l’estimation de y avec la méthode d’Euler et qu’on prenait la pente de la tangente de la fonction à ce point, on peut maintenant utiliser la moyenne des deux pentes, k1 et k2, pour obtenir une meilleure estimation de y. Et c'est là que la ligne noire entre en jeu pour notre prochaine estimation de y. La pente de cette ligne noire est égale à k1 + k2divisé par deux. Ceci est essentiellement la méthode de Heun.

La méthode de Heun utilise deux estimations de la pente, k1 et k2, pour déterminer une pente moyenne pour appliquer à notre pas. k1 est la pente qui provient de la méthode d'Euler, où k1 = f(xi,yi). Ce que vous faites par après, c'est que vous déterminez k2 après un pas de taille h. Donc k2 est égal à f(x+h, donc nous prenons un pas, yi + k1*h). Pour rappel, k1*h vous donne une valeur y et indique où se situe ce point sur le graphique. Ensuite, on prend la moyenne des pentes. Donc yi+1 = yi +h(k1/2 + k2/2) qui est la moyenne. Comme vous pouvez le voir sur la longue ligne noire, nous obtenons une estimation de y assez proche de la réponse actuelle avec la méthode de Heun.

Une autre méthode du deuxième ordre est la méthode du point médian qui utilise également deux valeurs de k. La première valeur, k1, est encore égale à f(xi, yi), donc la pente au point xi, mais dans ce cas, nous allons aller uniquement à xi +h/2 pour trouver notre k2. k2 = f(xi + h/2, yi + k1h/2) également. Donc ce que nous faisons ici c’est de trouver la pente à ce point et on suppose que ceci la meilleure estimation de la pente à utiliser. Donc yi+1 sera égale à yi + hk2. Vous remarquerez que la pente k2 est égale à la même pente que la longue flèche noire montrée ici car on utilise cette pente pour obtenir une estimation de y au point xi + h. Comme vous le voyez, nous obtenons une estimation de y assez proche de la réponse actuelle.

La dernière méthode du deuxième ordre que nous allons examiner est la méthode de Ralston, qui utilise également deux valeurs de k. La première valeur de k, comme vu précédemment, est kqui est égale à f(xi,yi). Cependant, pour k2, nous allons calculer la pente à trois quarts de h. Donc k2 = f(xi + 3h/4, yi+ 3k1h/4). Nous prendrons ensuite une moyenne pondérée entre k1 et k2 pour trouver une estimation de notre pente à utiliser, ce qui nous donnera yi+1 = yi + h(k1/3 + 2k2/3). La pondération de la deuxième pente est donc deux fois plus que celui de la première.

Reprenons le même problème vu avec la méthode d'Euler. Soit f(x,y) = (10ex - 3y)/(1+3x). La ligne en orange ici est la vraie réponse. En utilisant la méthode d'Euler avec une taille d’étape de h, nous n'avons pas obtenu une réponse très précise. Si nous utilisons la même taille d’étape, mais dans ce cas-ci, en appliquant la méthode de Heun, notre réponse est relativement proche pour certains points au début mais commence à dévier. Dans ce cas-ci, si nous utilisons la méthode du point médian avec la même taille d’étape de h, nous sommes en fait assez proches de la vraie réponse. La méthode de Ralston donne également une réponse plus précise. Vous pouvez voir ici que les méthodes du deuxième ordre sont plus performantes que la méthode d'Euler avec une taille d’étape similaire.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo met en œuvre les solveurs d’ÉDO du 2e ordre dans un problème pratique, selon une approche étape par étape.

Transcription de la vidéo Hide Video transcript

Bonjour, cette vidéo est EDO|LV|05 et il s'agit d'un exemple étape par étape de l'utilisation des méthodes du deuxième ordre pour résoudre des équations différentielles ordinaires.

Tout d'abord, examinons le problème. Résolvez le problème suivant avec la méthode de Heun, du point médian et de Ralston avec les conditions suivantes. Nous avons les conditions initiales x0 = 0, y0 = 1, une taille d’étape h égale à 0.5 et une valeur finale xf = 1.5. La fonction est dy/dx = xcos(x)/(1-ey). Commençons par la méthode de Heun. Nous avons notre fonction f(x,y) = xcos(x)/(1-ey). Dans le coin inférieur gauche, nous avons un tableau avec cinq colonnes qui représentent les itérations que nous effectuons. La première colonne est i pour les itérations, x, y, k1 et k2. K1 et k2sont les estimations des pentes où k1 = f(xi,yi) et k2 = f(xi + h, yi +hk1). Avec les pentes, nous pouvons obtenir une estimation de yi+1, qui est égale à yi + h(k1/2 + k2/2). Nous pouvons également prendre notre pas, de taille h, dans la direction x, qui est xi+1 = xi + h. Examinons maintenant nos conditions initiales de x = 0 et y = 1. Nous pouvons utiliser notre équation de k1 pour trouver la valeur de k1, qui dans ce cas-ci est égale à 0. Ensuite, nous pouvons appliquer notre équation de k2 pour trouver que k2 est égal à -0.2554. Maintenant, nous pouvons prendre un pas et définir x = 0.5 et y = 0.9362. Nous pouvons répéter le processus à nouveau pour trouver k1 avec ces valeurs, qui est égal à -0.2831. Nous pouvons trouver k2, qui est égal à –0.4452. Nous pouvons trouver notre prochaine valeur en prenant un pas à x = 1, ce qui nous donnera y = 0.7541. Encore, on peut calculer une autre valeur k1 de -0.48 et une valeur k2de -0.1579. Nous pouvons prendre un dernier pas ici pour trouver la valeur de y à x = 1.5, qui est le point d'arrêt, et y sera égal à 0.5946. Si nous regardons le graphique de cette fonction, vous remarquerez que la méthode de Heun fonctionne bien pour le premier point à x = 0.5 mais qu'elle s'écarte légèrement au fur et à mesure des étapes.

Regardons la méthode du point médian. Dans cette méthode, nous utilisons la même fonction f(x,y) et la même taille de table d’itérations que dans la méthode de Heun, où nous calculons toujours k1 et k2. Dans ce cas, k1 sera égal à f(xi,yi), ce qui est identique à la méthode de Heun, mais k2 sera calculé comme f(xi + h/2, yi+ k1h/2). Nous pouvons alors estimer notre prochaine valeur pour y comme étant yi+1 = y+ hk2 et nous pouvons trouver notre prochaine valeur de x comme étant xi+1 = xi + h. Examinons maintenant nos conditions initiales de x = 0 et y = 1. Avec cela, nous pouvons calculer la valeur de k1, qui sera toujours 0. Ensuite, nous pouvons calculer la valeur de k2 comme étant -0.1410. Nous pouvons ensuite calculer notre prochain point en prenant un pas à x = 0.5, et en calculant y comme étant 0.9295. Encore, nous pouvons répéter le processus à nouveau en calculant la valeur de k1 de -0.2862 et notre valeur de k2 de -0.4040. Nous pouvons passer à notre prochaine itération pour trouver notre valeur de y à x = 1, et y = 0.7275. Nous pouvons calculer la valeur de k1 à nouveau, puis notre k2. Et maintenant nous pouvons trouver notre y finale à x = 1.5, qui dans ce cas nous donne une réponse de y = 0.4885. Si on observe le graphique de ces points, vous remarquerez que la méthode du point médian permet dans ce cas d'estimer relativement bien la réponse actuelle, qui est la ligne en orange.

Terminons avec la méthode de Ralston. La méthode de Ralston utilisera la même fonction f(x,y) et la même taille de table d’itérations avec les valeurs k1 et k2. Dans ce cas, k1 sera calculé comme précédemment, c'est-à-dire égal à f(xi,yi), et k2 sera égal à f(xi + 3h/4, yi+ 3hk1/4). La prochaine valeur de yi+1 sera égale à y+ h(k1/3 +2k2/3). Et la prochaine valeur de x sera xi+1 = xi +h, la taille de l’étape. Reprenons nos valeurs initiales de x = 0 et y = 1. Nous pouvons donc calculer assez facilement notre k1, qui sera toujours égal à 0 pour la première itération. Dans ce cas, notre k2 sera -0.2031. Maintenant, nous pouvons mettre à jour nos valeurs de x et y et calculer à nouveau nos k1 et k2. Nous pouvons répéter le processus une autre fois pour obtenir le prochain point et des nouvelles valeurs de x et y, qui nous donnera ainsi une autre valeur de ket k2. Nous arrivons enfin à la dernière itération pour ce problème, en trouvant le y pour notre x = 1.5 et notre y est égal à 0.5363. Si nous regardons le graphique, nous obtiendrons une réponse comme celle-ci. Vous remarquerez que la méthode de Ralston a donné une estimation relativement bonne mais dans ce cas-ci, la méthode du point médian était la meilleure estimation. En générale, les méthodes du deuxième ordre devraient avoir des performances similaires puisqu'elles sont du même ordre.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d’eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.