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Description: Cette vidéo présente l'utilisation de la méthode de Newton-Raphson pour trouver la racine à l’aide de la première dérivée de la fonction.

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Bonjour, cette vidéo est ENL|LV|12 et il s'agit de la théorie de la méthode de Newton-Raphson pour résoudre des équations non linéaires.

Examinons d'abord le principe de la méthode de Newton-Raphson. Commençons d'abord par l'approximation de la série de Taylor. La série de Taylor est une série infinie, mais ici nous allons uniquement observer les deux premiers termes, c'est-à-dire f(xi+1) ≃ f(xi) +f’(xi)*(xi+1 - xi).  Dans ce cas, nous connaissons xet le prochain point que nous voulons trouver est xi+1. Puisque nous voulons trouver une racine, f(xi+1) devrait être égal à zéro. Nous pouvons réarranger l'équation pour obtenir xi+1 = xi -f(xi)/f’(xi). Examinons donc une fonction f(x), illustrée dans le graphique du haut, et sa dérivée f'(x), illustrée dans le graphique en bas. Remarquez d'abord que f(x) traverse l'axe des x et passe d'un négatif à un positif, alors que f'(x) est toujours positive dans ce cas. Graphiquement, nous pouvons tracer une ligne tangente à partir d'un point xjusqu’à l’axe des x et ce sera notre prochaine estimation xi+1. Nous pouvons donc retrouver f(xi+1) maintenant et tracer encore une ligne tangente jusqu’à à l'axe des x pour déterminer la prochaine estimation de la racine. Dans ce cas, vous remarquerez que l'estimation de la racine est presque directement sur l'axe des x, ce qui signifie qu'elle est très proche de la réponse exacte et que la méthode converge assez rapidement. Cela dépendra toutefois de votre première estimation initiale de xi, ce qui est l'un des inconvénients de la méthode de Newton-Raphson. Selon la fonction f(x), il se peut que vous ayez besoin d'une bonne estimation initiale de la racine pour que cette méthode converge, et si ce n'est pas le cas, elle peut même diverger.

Examinons les étapes graphiques de la méthode de Newton-Raphson. Commençons par une fonction qui croise l'axe des x. Nous estimerons un point xi, qui selon nous, sera proche de la racine de l'équation. C'est ici que la méthode diffère des méthodes d’entourage. Dans le cas des méthodes d’entourage, nous avons besoin de deux valeurs qui entoure la racine. Dans ce cas, nous utilisons qu'une seule valeur que nous espérons est proche de la racine. Pour déterminer la prochaine estimation de la racine, nous utiliserons l'équation xi+1 = xi -f(xi)/f’(xi). Cela revient essentiellement au processus de tracer la ligne tangente de xi jusqu’à l'axe des x. Avec ceci nous obtiendrons f(xi) qui devrait se rapprocher de 0 si notre fonction converge. Ce nouveau point peut être considéré comme notre nouveau xiet nous pouvons répéter la même procédure que précédemment en trouvant où la tangente croise l'axe des x et en mettant à jour notre estimation de la racine. Au fil des itérations, la valeur de f(xi) devrait diminuer et la fonction deviendra de plus en plus linéaire. Si elle ne converge pas, il est fort probable que l'estimation initiale de la racine n'était pas assez proche de la racine réelle et donc elle diverge. Dans l'exemple illustré, nous avons effectué environ 6 itérations et nous avons obtenu une valeur de f(xi) proche de 0. Cela signifie que nous pouvons utiliser notre valeur finale de xi comme l’estimation de la racine. Nous pouvons aussi l'appeler xet dans ce cas, la valeur est égale à 1.65744.

Examinons maintenant l'algorithme de la méthode de Newton-Raphson.

  • Étape 1- Avec l'estimation initiale xi, calculer f(xi) et f'(xi).
  • Étape 2 - Calculer xi+1 où xi+1 = xi -f(xi)/f’(xi).
  • Étape 3 - Répétez les étapes 1 et 2 jusqu'à ce que la racine exacte soit trouvée ou que l'erreur désirée soit atteinte. L'erreur ou εa, est |(xRi - xRi-1)/xRi|.
  • Étape 4 - Avec la dernière approximation de la racine xn, vérifiez que f(xn) est approximativement égale à 0 et fixez cette valeur à la racine xR.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.

Description: Cette vidéo met en œuvre la méthode de Newton-Raphson pour résoudre un problème en suivant une procédure étape par étape.

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Bonjour, cette vidéo est ENL|LV|13 et il s'agit d'un exemple étape par étape de la méthode de Newton-Raphson pour résoudre des équations non linéaires.

Tout d'abord, regardons le problème. Résolvez l'équation suivante ex = x2 et arrêtez d'itérer lorsque votre erreur, εaest inférieure à 1%. Pour le problème, nous utiliserons notre première estimation de xi comme étant x1 = 0. La première étape consiste à réarranger l'équation. Nous prenons ex = x2 et nous mettons les termes du même côté de l’équation. Nous avons donc f(x) = ex - x2, qui est bien sûr égal à 0. Voyons maintenant la procédure de calcul étape par étape en utilisant la disposition suivante. Dans le coin supérieur gauche se trouve la représentation graphique de la solution. En haut à droite, vous trouverez les équations importantes qui seront utilisées pour résoudre ce problème. Sur le côté droit se trouve aussi un graphique montrant comment l'estimation de l'erreur εa évolue au fil des itérations. En bas, il y a un tableau de tous les calculs importants qui sont effectués pour chaque itération. Examinons les équations importantes. Nous avons f(x) = ex -x2 et sa dérivée f'(x) = ex -2x. Nous avons ensuite l'équation permettant de déterminer notre prochaine estimation de la racine, qui est xi+1 = xi -f(xi)/f’(xi). Enfin, nous avons l'approximation de l'erreur εa qui est égale à |(xRi - xRi-1)/xRi|. Tout d'abord, représentons graphiquement la fonction autour de l'estimation originale de x1 = 0. Maintenant que nous avons une première estimation, nous pouvons calculer f(xi) ainsi que la dérivée f'(xi). Normalement, nous pouvons calculer l'erreur εa à cette étape, cependant, nous n'avons qu'une seule estimation de la racine, qui était x1 = 0. Nous pouvons maintenant calculer notre prochaine estimation xi+1 en utilisant la formule. Ainsi, notre prochaine estimation de la racine, x2, à l'itération 2 est -1. Nous pouvons par après répéter la même procédure en calculant f(xi) et f'(xi) et maintenant que nous avons deux estimations de la racine, nous pouvons calculer l'erreur. Dans ce cas, l'erreur est de 100%. Nous allons donc continuer avec nos itérations de la même manière. Nous calculons notre prochaine estimation de la racine en tant que x3 et vous remarquerez sur le graphique en haut à gauche que notre estimation est plus proche de l'axe des x. L'approximation de l'erreur est maintenant d'environ 36%. Ainsi nous allons continuer à itérer jusqu'à ce que notre εa soit inférieur à 1% et cela se produira après 5 itérations. Maintenant que nous sommes en dessous de 1% d'erreur pour εa, nous pouvons prendre notre dernière estimation de la racine x5 comme notre estimation de la racine xR, qui dans ce cas est égale à -0.703. La valeur de f(x) est très proche de 0 dans ce cas et nous avons donc résolu le problème.

Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.