Regardez ces cinq (5) vidéos en ordre. La durée totale est de 27 minutes. N'oubliez pas de tester vos connaissances à l'aide des tests de connaissances après chaque vidéo.
Description: Cette vidéo présente le format général d’un système d’équations linéaire et discute la notation matricielle.
Bonjour, cette vidéo est SE|LV|01 et c’est une introduction à la résolution de systèmes d'équations.
Commençons par une introduction aux systèmes d'équations. Un exemple de système d'équations est constitué de deux équations et de deux inconnues, telles que 2x - 5y = 1 et x + 3y= 6. En ingénierie, il peut y avoir de nombreuses équations avec une solution unique. Par exemple, cet ensemble de trois équations, 10x1 + 4x2 + 10x3= 47, -5x1 – 7x2+ 3x3 = -10, et -10x1 – 8x2 + 9x3 = 1. Il peut s'agir d'un petit ensemble d'équations, ou d'un grand ensemble comprenant jusqu'à des milliers d’équations, par exemple en mécanique des fluides numérique. Ce qui est le plus important à noter est que le nombre d'équations doit être égal au nombre d'inconnues.
Voici un aperçu des équations généralisées. Nous avons n équations qui ont plusieurs inconnues. Nous avons les coefficients commençant par la lettre a qui sont liés aux inconnues, x. Sur le côté droit des équations, nous avons nos valeurs constantes, b. Et donc dans la première équation, a11x1 signifie que la coefficient a11 est pour l'équation 1 et la variable 1, et ainsi de suite. Les équations générales peuvent être placées sous forme matricielle. C'est-à-dire que [A] fois [X] est égal à [B]. [A] est égal à tous les coefficients de vos variables, a11, a21, etc. jusqu'à ann. Dans cette notation, a11 signifie rangée 1 et colonne 1, a21 signifie rangée 2 et colonne 1 et ann signifie la rangée n et la colonne n. De même, x serait toutes les inconnues que vous recherchez, x1, x2, etc. jusqu'à xn et les b sont les constantes qui ne changent pas, b1, b2 jusqu'à bn. Les systèmes d'équations peuvent être linéaires ou non linéaires. Prenons par exemple cet ensemble de trois équations. Il peut sembler que cet ensemble d'équations est non linéaire car il contient des termes tels que e^x2 et sinx3. Cependant, vous remarquerez que chacune des variables x1, x2 et x3 peut être exprimée dans des termes indépendamment et tout ce que nous devons faire ici est de renommer les variables. Donc, nous pouvons dire z2 = e^x2 et z3 = sinx3. Ensuite, nous pouvons les réintégrer dans les équations et nous obtenons un système plus linéaire, qui est 3x1 + 2z2 +0z3 = pi, 2x1 + 0z2 + 4z3 = 4.4, 0x1 +9z2 + 5z3 = 3. Ceci peut être facilement placé sous forme matricielle comme suit en prenant tous les coefficients et les inconnues et en les mettant égales aux constantes.
Cependant, ces deux équations ici, 3x1 +x12x2 = 1, and x22 -17x1x2 = 0, sont un ensemble d'équations non linéaires car x1 et x2 ne peuvent pas être séparés indépendamment. Pour avoir un ensemble d'équations non linéaires, il faut qu'il y ait au moins une équation qui est non linéaire, et alors, le système entier devient un système d'équations non linéaires. La majorité des vidéos suivantes se concentrent sur la résolution de systèmes d'équations linéaires, à l'exception des vidéos présentées à la fin du module qui couvrent la méthode Newton-Raphson.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo présente l’utilisation de la méthode d’élimination de Gauss naïve pour résoudre un système d’équations linéaire.
Bonjour, cette vidéo est SE|LV|02 et il s’agit de la théorie de l'élimination naïve de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations.
Discutons d'abord de la théorie générale. L'élimination naïve de Gauss s'effectue en deux étapes, la première étant l'élimination vers l’avant. Dans cette étape, les inconnues sont systématiquement éliminées des équations en soustrayant les valeurs mises à l'échelle des équations les unes des autres. Cette opération est effectuée jusqu'à ce qu'une matrice triangulaire supérieure soit formée et que la dernière équation ne comporte qu'une seule inconnue. Cela peut être vu dans la matrice réduite ci-dessous à droite, où les zéros sont dans la matrice triangulaire inférieure et la dernière équation est a33’’ = b3’’. La deuxième étape est la substitution vers l’arrière. Avec la dernière équation n'ayant qu'une seule inconnue, elle peut être facilement résolue, puis vous continuez à résoudre pour chaque variable jusqu'à ce que vous trouviez x1. L'élimination vers l’avant est le processus de création de cette matrice triangulaire supérieure. Prenons par exemple cette matrice augmentée de A et B. Nous allons appliquer une certaine manipulation des rangées pour pouvoir l'éliminer et obtenir la matrice triangulaire supérieure représentée sur la droite. Nous pouvons commencer par trouver R2a, qui sera égal à R2 –(a21/a11)R1; et ce que cette opération va faire, c'est de transformer la valeur du coefficient de la première colonne et la deuxième rangée à 0. Nous pouvons faire quelque chose de très similaire avec R3a, qui sera égal à R3 - (a31/a11)R1. Dans ce cas-ci, les R représentent les rangées.
Prenons un exemple rapide. Nous allons commencer avec la première colonne et ce que nous voulons faire dans cette première colonne, c'est que pour les rangées 2 et 3, nous voulons qu'elles deviennent 0 en utilisant la rangée 1. Nous pouvons le faire en prenant 6 qui, dans ce cas, est à la position a11 (également connu comme l’élément pivot de la colonne 1), et en le convertissant en 3 puis en 5. Nous faisons cela pour la rangée 2 avec R2a =R2 - (3/6)R1 et pour la rangée 3 avec R3a = R3 - (5/6)R1. Si nous le faisons correctement, nous aurons des zéros dans la première colonne pour les rangées 2 et 3 et R1 restera le même. Maintenant que nous avons fait cela, nous allons nous déplacer d'une colonne. Donc notre pivot est maintenant dans la colonne 2. Ce que nous voulons faire ici, est de transformer le coefficient de la rangée 3 de cette deuxième colonne en 0. Au lieu d'utiliser la rangée 1, nous allons utiliser la rangée 2a et l’élément pivot ici est a22. Nous devons donc convertir -3/2 en -7/6. Nous faisons la même chose que précédemment et nous avons R3b = R3a –((-7/6)/(-3/2))R2a. En complétant ces étapes d’élimination, on obtient la matrice suivante et vous remarquerez qu'elle est devenue une matrice triangulaire supérieur.
Nous pouvons passer à l'étape suivante. L'étape suivante est la substitution vers l’arrière. Il existe quelques formules générales que vous pouvez utiliser. La première est définie pour xn et xn = bn après un certain nombre d'étapes d'élimination divisé par ann après un certain nombre d'étapes d'élimination. Une fois que vous avez cette valeur, vous pouvez avancer et trouver les autres valeurs en utilisant ce x. Dans cette équation, xi est égal à bi - somme aijxjdivisée par aii. Vous remarquerez que j est présent et que la série de sommations augmentera au fur et à mesure que vous aurez des xi. Pour la valeur suivante, lorsque i = n-1, vous n'aurez qu'un seul x que vous pourrez utiliser. Reprenons l'exemple précédent. Ce que vous pouvez faire, c'est prendre cette matrice et la reconvertir en équations. Vous verrez que celle du bas est la plus facile à résoudre pour commencer. Nous pouvons donc travailler à rebours et résoudre x3, puis x2 et enfin x1 pour obtenir notre réponse finale.
L'élimination naïve de Gauss est en fait considérée comme naïve pour quelques raisons. La première est que lors des opérations de normalisation, s'il y a un 0 et que vous divisez par 0, l'ensemble du système échouera. De plus, comme vous modifiez réellement les valeurs par élimination, vous pouvez obtenir une erreur d'arrondissement significative en fonction de la taille du système. Si vous avez un système mal conditionné ou singulier, où les équations sont très similaires, l'élimination naïve de Gauss peut également échouer.
Voyons un autre exemple d'élimination. Ici, nous avons trois équations et trois inconnues. Dans la première colonne, nous pouvons réduire les valeurs des rangées 2 et 3 à 0 avec les équations suivantes. Le problème ici est que si vous regardez ce qui se passe dans la deuxième colonne et deuxième rangée, nous obtenons un 0. Si nous utilisons ce coefficient comme élément pivot, cela ne fonctionnera pas. Lorsque nous essaierons de faire notre équation, R3b = R3a – 23/3 divisé par 0, cela échouera. Nous devrons donc modifier l'élimination de Gauss pour pouvoir gérer ces situations.
Vous connaissez peut-être la méthode d'élimination de Gauss-Jordan pour résoudre les systèmes d'équations. Prenons comme exemple cette matrice. Ici, nous pouvons effectuer une élimination et une mise à l'échelle afin que la coté A de la matrice augmentée devienne la matrice identité et que le coté B de la matrice augmentée soit la réponse finale. Cela diffère de la méthode d'élimination naïve de Gauss, où nous transformons la matrice en matrice triangulaire supérieure et nous utilisons ensuite la substitution vers l’arrière pour résoudre pour les valeurs x nécessaires. Il peut sembler que l'élimination de Gauss-Jordan soit une meilleure méthode. Cependant, elle nécessite en fait plus d'étapes de calcul et est plus longue à effectuer. L'élimination de Gauss est donc plus efficace.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d’eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo met en œuvre la théorie de l’élimination de Gauss naïve dans un problème pratique, selon une approche étape par étape.
Bonjour, cette vidéo est SE|LV|03 et il s’agit d’un exemple étape par étape de l'élimination naïve de Gauss pour résoudre un système d'équations.
Tout d'abord, examinons le problème. Résolvez l’ensemble d'équations suivantes en utilisant l'élimination naïve de Gauss. Il y a quatre équations et quatre inconnues, x1, x2, x3 et x4. Les équations sont les suivantes. La première équation est -2x1 - 5x2 +7x3 + 4x4 =6.02. La deuxième équation est 6x1 + x2 - x3 + x4 = 26.49. La troisième équation est -5x2 +2x3 - x4 = -23.08. La dernière équation est 8x1 + x3 + 6x4 = 46.51. Nous pouvons maintenant prendre ces équations et les écrire sous forme matricielle comme indiqué ci-dessous. Ce que nous pouvons faire pour simplifier les calculs, c'est de créer une matrice augmentée où les matrices A et B sont combinées ensemble dans une matrice 4x5. Nous devons maintenant commencer à former la matrice triangulaire supérieure. Nous allons commencer par la première colonne, -2, 6, 0, 8. Nous voulons rendre 6 égal à 0 et 8 égal à 0. Comme que le coefficient de la troisième rangée est déjà 0, nous n'avons pas besoin de le modifier. Nous allons exécuter les opérations avec la rangée 1. Nous avons R2a = R2 - (6/-2)R1 et R4a = R4 – (8/-2)R1. Ce que vous faites lorsque vous effectuez ces opérations sur les rangées, c'est que vous prenez ces facteurs et multipliez la rangée par chaque terme. Par exemple, dans la deuxième rangée et première colonne, nous avons 6 - (6/-2)(-2). Ensuite, nous pouvons aller à la deuxième rangée, deuxième colonne et nous avons 1-(6/-2)(-5), et ainsi de suite. De cette façon, lorsque nous avons tout fait, nous devrions avoir des zéros dans la première colonne pour toutes les autres rangées en dessous de -2.
Maintenant que nous avons terminé la première colonne de la matrice, nous pouvons passer à la deuxième colonne en commençant par la rangée numéro 2 avec -14, -5 et -20. Nous utiliserons la rangée numéro 2 comme point de pivot pour réduire les valeurs de cette colonne pour les rangées 3 et 4. Pour la rangée 3 nous pouvons faire R3b = R3– (-5/-14)R2a. Pour la rangée 4 nous pouvons faire R4b = R4a - (-20/-14)R2a. Si nous avons fait cela correctement, nous devrions maintenant avoir des 0 dans la colonne 2, rangées 3 et 4. Maintenant que nous avons réduit les équations dans les colonnes 1 et 2 nous pouvons passer à la colonne 3 et utiliser la rangée 3 comme point de pivot pour réduire la rangée 4. L'équation devient R4c = R4b - (0.4286/-5.1427)R3b. Si vous procédez correctement, vous devriez obtenir une matrice triangulaire supérieure.
Avec notre matrice triangulaire supérieure, nous pouvons maintenant utiliser la substitution vers l’arrière pour résoudre ce problème. La matrice peut en fait être transformée en un ensemble d'équations comme indiqué ci-dessous. Dans ce cas, la meilleure équation par laquelle commencer est la dernière. Nous pouvons obtenir x4 = 3.698/2.9583. Maintenant que nous avons x4, nous pouvons trouver x3 car x3 = (-38.99+5.6427x4)/-5.1427. Maintenant que nous avons x3 et x4, nous pouvons trouver x2, où x2 = (44.55 - 13x4 - 20x3)/-14. Et maintenant que nous avons ces trois x, nous pouvons enfin trouver x1. Dans ce cas, x1 sera égal à (6.02 - 4x4 - 7x3 + 5x2)/-2. Nous pouvons donc résoudre ces équations et obtenir notre réponse finale. Les réponses ont été inversées pour que x1 soit dans la première rangée. Nous obtenons x1 = 4.1, x2 = 6.85, x3 = 6.21, et x4 = 1.25 et ceci est la fin du problème.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n’aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo présente les améliorations apportées à l’élimination de Gauss naïve en ajoutant un pivotement partiel et une mise à l’échelle pour réduire les erreurs d’arrondissement et améliorer les solutions des systèmes mal conditionnés. Ces améliorations donnent la méthode d’élimination de Gauss.
Bonjour, cette vidéo est SE|LV|04 et il s’agit de la théorie de l'élimination de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations.
Parlons d'abord de la théorie de l'élimination de Gauss. L'élimination de Gauss est une amélioration de l'élimination de Gauss naïve. Rappelez-vous que dans l'élimination de Gauss naïve, au fur et à mesure que les rangées sont réduites, il y a une chance que l'un des éléments pivots soit égal à 0. Dans cet exemple ici, le coefficient de la rangée 2 et colonne 2 deviendrait 0 et cela rendrait le problème irrésolvable. L'élimination de Gauss améliore l'élimination de Gauss naïve en choisissant systématiquement la rangée qui doit être utilisée comme pivot. Dans ce cas, la rangée 2a et la rangée 3a doivent être échangées. En procédant ainsi, une solution peut être trouvée.
Nous devons décider quelle rangée est la meilleure rangée pour être le point pivot. Pour la première itération, nous utilisons toujours la première colonne. Dans le cas montré ici, nous avons les valeurs 6, 3, 1 et nous ne sommes pas sûrs avec laquelle commencer. Une façon de procéder est de prendre la plus grande valeur dans cette colonne comme point de pivot. En effet, cela aidera à réduire l'erreur d'arrondissement. Cependant, dans certains cas, la magnitude des coefficients peut être très différente et nous ne pouvons pas simplement prendre la plus grande valeur. Par exemple, ici dans la première colonne, nous avons 1390, 0.566, et 48 comme valeurs. Encore, la question est de savoir quelle serait la meilleure rangée à utiliser comme point de pivot. Donc prenons par exemple cette matrice présentée précédemment avec les coefficients de la matrice A où les valeurs sont différentes de plusieurs ordres de grandeur. Si nous choisissons la colonne 1, nous utiliserons les valeurs de 1390, 0.566 et 48 pour déterminer quelle rangée doit devenir la rangée 1. Pour ce faire, nous utilisons une technique de mise à l'échelle pour déterminer si la valeur dans la colonne bleue est la plus grande valeur relative aux valeurs de sa rangée. Nous procédons ainsi pour chaque rangée et nous choisissons la plus grande valeur pour devenir la rangée 1. Voici une équation simple que vous pouvez utiliser pour si, le facteur de mise en échelle pour la rangée i, qui est égal à la valeur absolue de aip, qui serait la valeur de a dans la rangée i, colonne p divisée par la valeur maximale dans cette rangée. Vous remarquerez que chaque valeur doit être la valeur absolue. Nous utilisons toujours les valeurs absolues car nous cherchons la plus grande magnitude. Donc, le dénominateur ici représente les valeurs dans les rangées. Retournons à l'exemple. Nous allons commencer par la première rangée. Nous avons 1390 dans la première rangée et nous pourrions la diviser par la plus grande valeur, qui est 1499. Si nous faisons cela, nous obtenons une valeur de 0.927. La plus grande valeur de la deuxième rangée est 0.556 et c'est la valeur dans notre colonne actuelle. Donc, 0.556 divisé par 0.556 est égal à 1. Dans la troisième rangée, nous avons 48 et nous divisons cela par 52, la plus grande valeur de cette rangée, pour obtenir une valeur de 0.923. Dans ce cas, la deuxième rangée devrait devenir notre première rangée car elle avait le plus grand facteur de mise en échelle de 1.
Nous avons maintenant déplacé la deuxième rangée pour qu'elle devienne notre première rangée. Donc la valeur de 0.566, servira comme élément pivot pour pouvoir réduire les valeurs de la première colonne en dessous de l’élément à 0. Après avoir effectué l'étape d'élimination, nous devrions avoir des zéros dans les rangées 2 et 3 et nous pouvons passer à la colonne 2, en commençant par la rangée 2. Pour continuer, nous ne modifierons plus la rangée 1. Maintenant que nous sommes passés à la colonne 2, nous allons examiner les valeurs restantes dans les rangées et déterminer quelle valeur est la plus grande grâce à la mise à l'échelle. Si nous appliquons la technique de mise à l'échelle ici dans la deuxième rangée, nous avons 440.54 divisé par la plus grande valeur, qui est 440.54, ce qui nous donne une valeur de 1. Dans la troisième ligne, nous avons une valeur de 0.551 divisée par 6.03, ce qui nous donne une valeur de 0.09. Donc dans ce cas, nous ne déplaçons pas la deuxième rangée et nous pouvons continuer avec l'élimination de Gauss pour former notre matrice triangulaire supérieure. Avec notre matrice triangulaire supérieure, nous pouvons continuer avec la substitution vers l’arrière comme démontrée précédemment pour résoudre pour les valeurs de x.
Examinons l'algorithme de l'élimination de Gauss.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo met en œuvre la théorie de l’élimination de Gauss dans un problème pratique, selon une approche étape par étape.
Bonjour, cette vidéo est SE|LV|05 et il s’agit d'un exemple étape par étape de l'élimination de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations.
Tout d'abord, examinons le problème. Résolvez la matrice suivante en utilisant l'élimination de Gauss. Nous avons une matrice de 4x4, donc 4 équations et 4 inconnues. La première étape est de prendre la matrice et de regarder la première colonne comme étant la première colonne pivot et nous devons déterminer quelle valeur devrait être dans la première rangée. Nous pouvons le déterminer en faisant la mise à l'échelle des coefficients de chaque rangée. Si nous regardons la rangée 1, nous pouvons diviser 4 par la valeur maximale absolue de cette rangée, qui est 8, donc soit 4/8. Dans les rangées suivantes, nous avons 1 divisé par 9, puis 2 divisé par 8, et enfin 5 divisé par 8 pour la dernière rangée. Par conséquent, si vous regardez ces valeurs, la dernière rangée a la valeur mise à l’échelle la plus élevée de 0.625 et devrait être déplacée pour devenir la première rangée. L'ordre des autres rangées n'a pas d'importance, car nous effectuerons une mise à l'échelle à chaque itération à travers des colonnes. Maintenant que nous avons déplacé notre meilleure rangée à la rangée 1, nous pouvons commencer à éliminer les coefficients dans la colonne 1. Ainsi, le 5, ici dans la rangée 1, sera notre élément pivot pour réduire toutes les autres valeurs en dessous à 0. Nous pouvons le faire avec R2a = R2 – (4/5)R1, R3a = R3 - (2/5)R1 , et R4a = R4 – (1/5)R1. Lorsque nous faisons cela, nous devrions obtenir la matrice suivante où nous avons 5 dans la première colonne et des zéros en dessous. Maintenant que l’élimination pour la première colonne est complète, nous ne modifierons plus la première rangée et nous descendrons à notre deuxième colonne pivot, la colonne 2. Nous avons maintenant trois équations et nous devons déterminer laquelle est la meilleure pour devenir la rangée 2. Si nous répétons la technique de mise à l'échelle, nous remarquerons que les rangées 2 et 3 ont toutes deux une valeur de 1. Nous pouvons choisir l'une ou l'autre à déplacer, mais puisque nous avons déjà la rangée 2 à cet endroit, nous ne la déplacerons pas. Nous allons maintenant déplacer la colonne pivot pour qu'elle soit la deuxième colonne et nous allons utiliser la rangée 2, en particulier l’élément pivot de 5.6, pour pouvoir réduire les valeurs en dessous à 0. Nous aurons R3b = R3a - (6.8/5.6)R2a, et R4b = R4a - (5.4/5.6)R2a. Si cela est fait correctement, les valeurs de la deuxième colonne sous la deuxième rangée devraient être égales à 0. Nous allons maintenant passer à la troisième colonne. Dans ce cas, il nous reste deux équations, mais nous devons déterminer laquelle est la meilleure pour devenir notre troisième rangée. Si nous appliquons la technique de mise à l'échelle que nous avons utilisée, vous remarquerez que la quatrième rangée a une valeur mise à l’échelle de 1, et qu'elle devrait donc devenir la troisième rangée que nous utilisons. Ici, nous avons échangé les rangées 3 et 4. Nous effectuons maintenant les étapes d'élimination sur la troisième colonne en utilisant la troisième rangée, en particulier l’élément pivot de 9.5357 pour réduire la valeur de la quatrième rangée à 0. Nous faisons cela avec R4c = R4b - (0.7857/9.5357)R3b. Avec ceci, on obtient une matrice triangulaire supérieure que nous pouvons utiliser pour passer à la substitution vers l’arrière.
Maintenant que nous avons la matrice triangulaire supérieure, nous pouvons utiliser la substitution vers l’arrière pour déterminer les valeurs de x1 à x4. Nous allons commencer par la dernière équation qui s’agit de x4 = 16.382/5.4607. Avec x4, nous pouvons trouver x3, où x3 = (93.321 – 5.6786x4)/9.5357. Maintenant que nous avons x3 et x4, nous pouvons trouver x2, qui est (31.4 + 3.4x4 + 1.8x3)/5.6. Enfin, maintenant que nous avons les valeurs de x2 à x4, nous pouvons trouver la dernière valeur de x1, qui dans ce cas est x1 = (137 - 8x4 - 6x3 - 3x2 - 5x1)/5. Avec cela, nous pouvons trouver notre matrice de x finale. Ici, nous avons échangé les valeurs de sorte que nous obtenons x1 en haut avec x1 = 7, x2 = 10, x3 = 8, et x4 = 3. Nous avons enfin résolu le problème. Notez, que vous pouvez prendre ces valeurs et les réinsérer dans les équations de la matrice originale pour vérifier notre solution.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.