Regardez ces six (6) vidéos en ordre. La durée totale est de 26 minutes. N'oubliez pas de tester vos connaissances à l'aide des tests de connaissances après chaque vidéo.
Description: Cette vidéo présente l'utilisation de l'interpolation linéaire, parfois appelée la méthode de la fausse
Bonjour cette vidéo est ENL|LV|06 et portera sur la théorie de l'interpolation linéaire pour la résolution d'équations non linéaires.
Parlons d'abord du principe. Prenons une fonction qui traverse l'axe des x et deux points xL et xU qui entoure la racine. Le graphique illustré ci-dessous représente ces limites et permet de les voir visuellement sur une ligne. L'interpolation linéaire fonctionne en traçant une ligne droite entre xL et xU et en notant le point où cette ligne croise l'axe des x. Ce point deviendra votre estimation xR. Numériquement, xR peut être calculé en utilisant cette équation: xL - f(xL)*(xU - xL)/(f(xU)-f(xL)). Avec cette valeur de xR, nous pouvons calculer f(xR). Maintenant, avec nos limites divisées en deux régions entre xL et xR et entre xR et xU, nous pouvons tester si f(xL)*f(xR) <0. S'il est inférieur à zéro, alors la racine se trouve entre xL et xR et sinon, elle se trouve entre xR et xU. Dans cet exemple, vous remarquerez que xR est en fait au milieu de xL et xU. Cependant, tout cela dépend des valeurs de f(xL) et f(xU). Normalement, xRne divise pas les limites entre xL et xU en deux régions égales, ce qui peut rendre la méthode d’interpolation linéaire plus efficace que la méthode de bissection.
Examinons cet exemple plus en détail à l'aide de quelques étapes graphiques. Commençons en traçant une fonction qui traverse l'axe des x, avec deux points (xL, f(xL)) et (xU, f(xU)). Nous pouvons alors appliquer la formule de xR pour l'interpolation linéaire et ensuite, nous pouvons tester les limites pour déterminer où se trouve la prochaine racine. Dans ce cas, la fonction croise entre xR et xU et nous ajustons donc nos bornes entre xR et xU. Celles-ci deviennent nos nouvelles limites xL et xU. Nous utilisons notre formule pour xR pour déterminer notre prochaine estimation de xR, qui est l'endroit où une ligne droite entre xL et xU croise l'axe des x et où nous pouvons à nouveau tester nos limites. Dans ce cas, vous remarquerez que xR ne se trouve pas au milieu de xL et xU et que nos régions ne sont pas égales. Encore une fois, la fonction passe entre xR et xU et nous continuons donc à itérer le même processus jusqu'à ce que nous soyons satisfaits d'être assez proche de la racine. Par exemple, après six itérations, la courbe est devenue assez droite et nous pouvons estimer que la racine est la dernière valeur de xR, qui est dans ce cas, 1.6555. Si on examine la valeur de f(xR), elle est assez proche de 0.
Examinons maintenant l'algorithme.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo met en œuvre la méthode d'interpolation linéaire pour résoudre un problème en suivant une procédure étape par étape.
Bonjour cette vidéo est ENL|LV|07 et s'agit d'un exemple étape par étape de la méthode d’interpolation linéaire pour résoudre des équations non linéaires.
Examinons d'abord le problème. Résolvez l'équation suivante ex = x2 et arrêtez d'itérer lorsque votre erreur, εa, est inférieure à 1%. Pour ce problème, nous fixerons nos limites initiales comme xL = -1 et xU = 1. La première étape consiste à réarranger l'équation. Nous prenons ex = x2 et nous transférons les termes d’un côté. Ainsi, nous avons f(x) = ex - x2, qui est égal à 0.
Nous allons résoudre ce problème en utilisant la disposition suivante. Dans le coin supérieur gauche, nous verrons la solution graphique de la méthode d’interpolation linéaire. Dans le coin supérieur droit se trouvent les équations que nous utiliserons pour résoudre ce problème. Sur le côté droit se trouvera aussi un graphique qui montrera comment l'erreur diminue en fonction du nombre d'itérations. En bas, vous trouverez le tableau des itérations, qui vous permettra de visualiser tous les calculs. Examinons toutes les fonctions que nous avons. Tout d'abord, nous avons la fonction f(x) = ex - x2. Ensuite, nous avons l'équation de la racine qui sera xR = xL – f(xL)*(xU-xL)/(f(xU)-f(xL)). Enfin, nous avons l'estimation de l'erreur qui est εa = |(xRi - xRi-1)/xRi|.
Commençons en représentant graphiquement la fonction avec les limites choisies. Vous remarquerez dans le graphique en haut à gauche que la fonction croise l'axe des x comme prévu, nous pouvons donc commencer notre première itération avec nos limites, xL = -1 et xU = 1. Nous pouvons utiliser notre fonction f(x) pour déterminer f(xL) et f(xU) et nous pouvons utiliser notre équation xR pour déterminer la première estimation de la racine. La première estimation de xR est -0.46 et nous pouvons maintenant calculer f(xR) en utilisant notre fonction f(x). Normalement, nous pouvons calculer l'estimation de l'erreur, mais dans ce cas, nous n'avons qu'une seule estimation de xR et nous ne pouvons donc pas le faire. L'étape suivante consiste à déterminer les limites. Nous pouvons le faire en testant si f(xL)*f(xR) <0. Dans ce cas, c'est négatif, et cela signifie que nos nouvelles limites seront xL et xR. Par conséquent, pour le 2e itération, xL = -1 et xU = -0.46212. Comme nous l'avons fait auparavant, nous pouvons calculer f(xL) et f(xU) et ensuite calculer xR et f(xR). Maintenant, avec deux itérations et deux xR, nous pouvons calculer l'estimation de l'erreur, qui, dans ce cas, est d'environ 32%. Prochainement, nous pouvons calculer où se trouvent nos nouvelles limites en utilisant f(xL)*f(xR) et en déterminant si cette valeur est inférieure à zéro. Dans ce cas, c'est vrai et nos nouvelles limites seront donc xL et xR.
En commençant par l'itération 3, vous remarquerez dans le coin supérieur gauche que le graphique est devenu plus linéaire, ce qui fonctionne bien pour l'interpolation linéaire, et nous pouvons utiliser les mêmes étapes précédentes en utilisant xL et xU pour calculer f(xL) et f(xU). Avec cela, nous pouvons calculer notre xR et avec xR, nous pouvons calculer f(xR).
Notre estimation de l’erreur est maintenant tombée à environ 3.5 %, qui n’est pas encore en dessous de 1%. Nous allons donc encore tester nos limites et nous remarquerons que la racine est toujours comprise entre xL et xR, ce qui nous permettra de passer à l'itération suivante. Avec les mêmes étapes pour la 4e itération et les nouvelles valeurs de xL et xU, vous remarquerez que l'approximation de l'erreur εa est maintenant inférieure à 1%. Donc, nous savons que nous pouvons nous arrêter ici et prendre la valeur de xR finale comme notre estimation de la racine. Dans ce cas, la valeur est 0.703. Nous avons maintenant résolu ce problème en 4 itérations.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo explique comment améliorer l'algorithme d'interpolation linéaire afin de réduire le nombre d'itérations pour les systèmes mal conditionnés.
Bonjour, ceci est la vidéo ENL|LV|08 et il s'agit de la théorie de l'interpolation linéaire modifiée pour la résolution d'équations non linéaires.
Discutons d'abord du principe de l'interpolation linéaire modifiée. Nous allons premièrement discuter d'une limitation de l'interpolation linéaire. Supposons que vous avez une fonction où une des limites est beaucoup plus grande que l'autre. Cela peut se produire, par exemple, proche d'une asymptote. Si nous suivons les étapes d'interpolation linéaire, nous pouvons tracer une ligne droite entre xL et xU et l'endroit où cette ligne croise l'axe des x est notre prochain estimé de xR. Nous pouvons continuer cette procédure pendant quelques itérations. Vous remarquerez que l'une des limites, dans ce cas la limite supérieure, reste toujours la même et qu'il faut beaucoup de temps pour converger vers la racine. L'interpolation linéaire modifiée fonctionne un peu différemment. Disons que nous prenons la même fonction et les mêmes limites initiales. Le début de l'interpolation modifiée sera identique à celui de l'interpolation linéaire. Vous tracez une ligne droite entre xL et xU et l'endroit où elle croise l'axe des x est où se trouve votre prochaine estimation de la racine. La 2e itération ressemblera également beaucoup à l'interpolation linéaire. Cependant, c'est maintenant que les deux méthodes diffèrent. L'interpolation linéaire modifiée tient compte du nombre de fois où une limite reste la même, et si elle reste la même plus que deux fois de suite, elle divise la valeur f(x) à cette limite par deux. Elle trace ensuite une ligne droite entre les deux limites et l'endroit où cette ligne croise l'axe des x sera la prochaine estimation de la racine. À l'itération suivante, si l'une des limites n'a pas changé, la valeur de f(x) est divisée par une autre moitié, c'est-à-dire par 1/4 de la limite initiale. Vous devriez remarquer qu'avec le même nombre d'itérations, l'interpolation linéaire modifiée est plus proche de la racine que l'interpolation linéaire. Cela signifie que l'interpolation linéaire modifiée converge plus rapidement. Une chose à noter est que c'est que la valeur f(x) de cette limite qui est divisée par deux, et non pas la valeur x. Si vous faites cela, vous allez diminuer la distance entre vos limites et vous risquez de manquer la racine. Dans l'exemple ci-dessus, c'est xU qui était fixé à un point. Cependant, ceci peut se produire aussi avec la limite inférieure, xL, selon la fonction.
Examinons l'algorithme et comment il diffère de l'interpolation linéaire.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo met en œuvre la méthode d'interpolation linéaire modifiée pour résoudre un problème en suivant une procédure étape par étape.
Bonjour, cette vidéo est ENL|LV|09 et il s'agit d'un exemple étape par étape pour l’interpolation linéaire modifiée.
Tout d'abord, regardons le problème. Résolvez l'équation suivante ex = x2 et arrêtez d'itérer lorsque votre erreur, εa, est inférieure à 1%. Pour ce problème, nous utiliserons les limites: xL = -1 et xU = 1. La première étape consiste à réarranger l'équation. Nous prenons ex = x2 et nous mettons les termes du même côté de l’équation. Nous avons donc f(x) = ex - x2, qui est bien sûr égal à 0. Voyons maintenant comment nous allons calculer cela. À chaque étape, nous allons utiliser la disposition suivante. Dans le coin supérieur gauche se trouvera la représentation graphique de la solution. En haut à droite, il y aura les équations importantes qui seront utilisées pour résoudre ce problème. Sur le côté droit se trouve aussi un graphique montrant comment l'estimation de l'erreur εa évolue au fil des itérations. En bas, il y a un tableau de tous les calculs importants qui sont effectués pour chaque itération. Examinons d'abord nos équations importantes. La première équation est la fonction f(x) = ex - x2. La deuxième équation est l'équation d'interpolation linéaire, xR = xL – f(xL)(xU-xL)/(f(xU)-f(xL)). Enfin, la dernière équation est l'estimation de l'erreur, εa qui est égale à |(xRi - xRi-1)/xRi|. Dessinons le graphique entre les limites données. Vous remarquerez que la fonction traverse l'axe des x donc la racine est correctement délimitée. Nous pouvons maintenant effectuer la première itération où xL = -1 et xU = 1 et nous pouvons utiliser la fonction f(x) pour déterminer f(xL) et f(xU). Nous allons utiliser l'équation de l'interpolation linéaire pour déterminer xR et avec xR nous pouvons calculer f(xR). Nous calculons normalement l'erreur, εa, mais comme nous n'avons qu'une seule approximation de xR, nous ne pouvons pas le faire pour la première itération. Nous pouvons maintenant tester nos limites f(xL)*f(xR) et déterminer si ce produit est inférieur à zéro. Dans ce cas, c'est négatif, ce qui signifie que la racine entre xL et xR, et nous allons changer nos limites pour la prochaine itération. Donc la valeur de xL = -1 et xU = -0.462. Nous pouvons encore une fois calculer notre f(xL) et f(xU) en utilisant notre fonction f(x) et nous pouvons calculer xR en utilisant la formule d'interpolation linéaire. Nous pouvons ensuite calculer f(xR) et obtenir une estimation de notre erreur qui, dans ce cas, est approximativement égale à 32%. Maintenant, nous pouvons déterminer si la racine se situe entre xL et xR. Dans ce cas, elle se trouve à l'intérieur de ces deux limites, ce qui signifie que xL n'a pas changé en deux itérations. Cela signifie que nous allons mettre en œuvre l'interpolation linéaire modifiée à la prochaine itération. À la 3e itération, nous aurons nos xL et xU, puis nous calculerons nos f(xL) et f(xU). Vous remarquerez que même si la valeur de xLreste le même pour les trois premières itérations, ici -1, f(xL) a en fait diminué de moitié entre les itérations 2 et 3. Ceci est également visible sur le graphique dans le coin supérieur gauche. Maintenant, nous continuons la même procédure en calculant xR, f(xR) et encore une fois, estimer de l'erreur. Nous pouvons maintenant tester les limites et dans ce cas, elles se situent entre xR et xU. Nous passons donc à notre 4ème itération. Avec nos nouveaux points xLet xU, nous pouvons calculer nos f(xL) et f(xU) et ce que vous remarquerez, c'est que ce sont les valeurs actuelles et que nous ne divisons pas f(xL) ou f(xU) ici en deux. Maintenant nous pouvons continuer à faire la même procédure jusqu'à ce que notre erreur soit inférieure à 1%. Cela se produit après cinq itérations. La meilleure estimation de la racine est prise comme la dernière valeur de xR, qui dans ce cas est égal à -0.703. Il est intéressant de noter que l'interpolation linéaire n'a nécessité que 4 itérations pour arriver à ce point. En générale, l'interpolation linéaire modifiée converge plus rapidement que l'interpolation linéaire. Cependant, dans ce cas, à la 3ème itération, les points étaient assez linéaires, donc lorsque f(xL) a été divisé par deux, nous avons obtenu une estimation moins précise de la racine. Néanmoins, une différence d'une itération est assez minime dans ce cas.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo présente une méthode qui divise systématiquement les limites de la racine en trois régions pour obtenir une approximation efficace de la racine.
Bonjour, cette vidéo est ENL|LV|10 et il s'agit de la théorie de la méthode de Ridders pour la résolution d'équations non linéaires.
Tout d'abord, nous allons discuter du principe général de la méthode de Ridders. Commençons en traçant la fonction f(x) qui croise l'axe des x. Nous choisissons ensuite nos limites inférieures et supérieures xL et xU de sorte que la fonction traverse l'axe des x entre ces limites. Nous pouvons alors trouver le point médian xM, qui est le point médian entre xL et xU en prenant (xL + xU)/2. Cette étape est similaire à celle de la méthode de bissection. Ridders a proposé d'effectuer une transformation sur la fonction en utilisant la formule suivante: H(x)= f(x)emx. Ainsi, avec cette fonction, si f(x)=0, H(x) le sera aussi. Il faut toutefois déterminer la valeur de m. Donc, une autre contrainte a été utilisée, où on suppose que H(xM) est égal au point médian entre H(xL) et H(xU). Avec les trois points et cette contrainte, m peut être résolue et la fonction H(x) peut être tracée. En sachant que xM est la moyenne entre xL et xU et que H(xM) est la moyenne entre H(xL) et H(xU), les points xL, xM, xU devraient former une ligne droite. Par conséquent, l'interpolation linéaire peut être utilisée sur ces trois points pour déterminer une bonne estimation de la racine. Cela peut sembler être beaucoup d'étapes pour trouver une estimation de la racine. Alors, Ridders a proposé une seule équation basée sur xL, xM et xU. L'équation pour xR est: xR =xM +(xM-xL)*Sgn(f(xL)-f(xU))*f(xM)/√(f2(xM)-f(xL)*f(xU)). Cette équation peut sembler complexe; cependant, elle élimine les étapes de recherche de la valeur m ainsi que de la fonction H(x). Avec xR et xM, nous avons maintenant divisé les limites originales entre xL et xU en trois régions. Ici, xR est supérieur à xM, et nous pouvons donc tester ces différentes régions. Par exemple, est-ce que f(xL)*f(xM) < 0, ou f(xR)*f(xU) < 0 ou enfin, est-ce que f(xM)*f(xR)<0? Seulement une de ces régions doit être inférieure à zéro et ce sera nos nouvelles limites pour la prochaine itération. Vous devriez noter que xR n'est pas toujours supérieur à XM, et donc assurer-vous de l'ordre des points lorsque vous vérifiez les régions. Par exemple, pour cette fonction, xR est inférieur à xM.
Voyons maintenant les étapes graphiques de la méthode de Ridders. Tout d'abord, nous allons tracer le graphique d'une fonction qui croise l'axe des x, et nous allons choisir deux points qui entoure la racine, notamment xL et xU. Vous calculerez le point central xM comme étant (xL+xU)/2. Nous avons maintenant trois points à xL, xM, xU et nous pouvons utiliser ces trois points pour calculer xR. xR =xM +(xM-xL)*Sgn(f(xL)-f(xU))*f(xM)/√(f2(xM)-f(xL)*f(xU)). Cela nous donnera une valeur de xR qui se situe entre xL et xU et nous pouvons maintenant tester les trois régions différentes pour déterminer où seront les nouvelles limites. Dans ce cas, la fonction croise l’axe des x entre xR et xU et nous aurons de nouvelles limites pour xL et xU. Maintenant, nous pouvons répéter le processus de détermination du point médian entre xL et xU. Ensuite, nous pouvons calculer xR et une fois que nous avons xR, nous pouvons à nouveau tester trois régions pour déterminer où la fonction croise. Dans ce cas, entre xR et xM. Nous pouvons définir encore de nouvelles limites pour xL et xU et continuer le processus pour autant d'itérations nécessaires. Ce que vous remarquerez avec cette méthode, c'est qu'elle converge assez rapidement et qu'à la fin, la fonction est très linéaire. Lorsque les itérations sont terminées, la meilleure estimation de la racine est xR, qui est dans ce cas 1.6573.
Examinons l'algorithme pour la méthode de Ridders.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo met en œuvre la méthode de Ridders pour résoudre un problème en suivant une procédure étape par étape.
Bonjour, cette vidéo est ENL|LV|11 et il s'agit d'un exemple étape par étape de la méthode de Ridders pour la résolution d'équations non linéaires.
Tout d'abord, regardons le problème. Résolvez l'équation suivante ex = x2 et arrêtez d'itérer lorsque votre erreur, εa, est inférieure à 1%. Pour ce problème, nous utiliserons les limites: xL = -1 et xU = 1. La première étape consiste à réarranger l'équation. Nous prenons ex = x2 et nous mettons les termes du même côté de l’équation. Nous avons donc f(x) = ex - x2, qui est bien sûr égal à 0. Voyons maintenant la procédure de calcul étape par étape en utilisant la disposition suivante. Dans le coin supérieur gauche se trouve la représentation graphique de la solution. En haut à droite se trouvent les équations importantes qui seront utilisées pour résoudre ce problème. Sur le côté droit se trouve aussi un graphique montrant comment l'estimation de l'erreur εa évolue au fil des itérations. En bas, il y a un tableau de tous les calculs importants qui sont effectués pour chaque itération. Examinons maintenant les équations. La première équation est la fonction f(x) = ex - x2. La deuxième équation est la grande équation de la méthode de Ridders, qui est xR =xM +(xM-xL)*Sgn(f(xL)-f(xU))*f(xM)/√(f2(xM)-f(xL)*f(xU)). Nous avons également l'estimation de l'erreur, εa qui est égale à |(xRi - xRi-1)/xRi|. Une équation qui n'est pas montrée ici est l’équation pour xM. xM est le point médian entre xL et xU et est assez facile à calculer. Tout d'abord, représentons graphiquement la fonction entre les limites données de -1 et 1. Vous remarquerez que la fonction croise l'axe des x, ce qui signifie que la racine est correctement délimitée. Pour la première itération, en utilisant les points xL et xU, qui sont -1 et 1, nous pouvons calculer le point médian xM, qui est égal à 0. Ensuite nous pouvons utiliser notre fonction f(x) pour calculer f(xL), f(xM) et f(xU). Vous utilisez maintenant l'équation de Ridders pour trouver xR et ensuite utiliser, à nouveau, la fonction pour trouver f(xR). Nous pouvons généralement calculer l'erreur approximative, εa, mais dans ce cas, comme nous n'avons qu'une seule estimation de la racine, nous ne pouvons pas le faire. Maintenant, nous devons déterminer l'intervalle où se trouve la racine. Avec la méthode de Ridders, c'est plus difficile parce qu'il y a trois régions et xR peut être inférieur ou supérieur à xM. Visuellement, on peut voir que la racine se situe entre xL et xR. Nous avons donc de nouvelles limites pour notre 2ème itération. Sur le graphique, vous pouvez voir que c'est déjà presque une ligne droite, mais nous allons continuer avec xL et notre nouveau xU. Nous pouvons suivre les mêmes étapes que précédemment en calculant notre xM, puis f(xL), f(xM), et f(xU), qui peuvent être utilisés pour calculer xR, f(xR) et enfin obtenir notre première estimation de l'erreur. Notre première estimation de l'erreur est déjà de 1.5 %, qui est très proche d'être inférieur à 1%. De plus, si vous observez la valeur de f(xR), elle est déjà très proche de 0. Puisque l’erreur n’est pas inférieure à 1%, nous allons continuer avec une 3ème itération. Nous devons déterminer quelles seront nos prochaines limites et ici nos prochaines limites seront xM et xR. Donc nous allons ajuster les limites pour notre 3ème itération et nous allons continuer avec la même procédure jusqu'à ce que nous arrivions à la valeur de εa. Dans ce cas, l’approximation de l’erreur est inférieure à 1% et nous pouvons arrêter ici; cependant, pour mieux comprendre la méthode de Ridders, nous allons faire une itération supplémentaire. À partir de la 4ème itération, vous verrez que les valeurs de εa et f(xR) sont pratiquement égale à 0. Nous pouvons donc prendre la meilleure estimation de la racine comme étant la dernière valeur de xR, qui est dans ce cas -0.703. Nous avons maintenant résolu ce problème.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien de eCampusOntario et l'Université d'Ottawa.