Regardez ces trois (3) vidéos en ordre. La durée totale est de 12 minutes. N'oubliez pas de tester vos connaissances à l'aide des tests de connaissances après chaque vidéo.
Description: Cette vidéo présente l'intégration numérique pour les ensembles de données et les équations.
Bonjour, cette vidéo est IN|LV|01 et il s'agit d'une introduction à l'intégration numérique.
Tout d'abord, une brève introduction. La représentation mathématique de l'intégrale I est l'intégrale entre a et b de f(x) dx. Ici, a et b représentent les bornes où a est la borne inférieure de l'intégrale et b est la borne supérieure. Ce type d'intégrale est également connu sous le nom d'intégrale définie. Graphiquement, cela reviendrait à prendre l'aire sous la fonction f(x) entre les bornes a et b.
Certaines fonctions sont connues et faciles à résoudre. Par exemple, cette équation ici : l'intégrale entre 0 et 2 de x3 + 4. On peut résoudre cette équation pour obtenir x4/4+4x. Nous pouvons alors introduire les limites de 0 et 2 pour trouver l'intégrale définie, qui dans ce cas serait égale à 12. Cependant, en ingénierie, toutes les équations ne sont pas aussi simples. Prenez par exemple cette équation où h est la hauteur d'un réacteur à lit fluidisé, qui est reliée à la concentration initiale de l'espèce A, CA0, et à la vitesse superficielle du gaz u, ainsi que l'intégrale d’une fonction représentant la conversion, X. Toutes les fonctions n'ont pas besoin d'être aussi compliquées, par contre des fois même les fonctions simples comme e^(-x2) n'ont pas de solution analytique. Dans certains cas, il se peut que vous n'ayez même pas de fonction à intégrer, mais plutôt simplement des points de données brutes. Certaines méthodes abordées dans ce module seront utilisées pour intégrer des données brutes.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo présente l'utilisation des méthodes de Newton-Cotes (méthode des trapèzes, de Simpson 1/3 et de Simpson 3/8) pour résoudre des ensembles de données à espacement égal (équidistants) et à espacement inégal.
Bonjour, cette vidéo est IN|LV|02 et il s'agit de la théorie des méthodes de Newton-Cotes pour résoudre les problèmes d'intégration numérique.
Discutons d'abord de la théorie générale de ces méthodes. Ces méthodes supposent que l'intégrale réelle, I, d’une certaine fonction f(x) ou un ensemble de données peuvent être approximées par un polynôme fn(x). Le n représente ici l'ordre du polynôme. Par exemple, f1(x) représenterait l'équation linéaire a0 + a1x. f2(x) représenterait une équation quadratique, f3(x) représenterait une équation cubique et ainsi de suite. Les fonctions polynomiales sont faciles à intégrer et peuvent être utilisées pour estimer l'intégrale de fonctions complexes ou pour trouver l'aire sous une courbe de données.
Commençons par la méthode la plus simple, la méthode des trapèzes. La méthode des trapèzes utilise la fonction f1(x), qui est une équation linéaire. Pour trouver l'équation d'une ligne, vous avez besoin de deux points. Dans ce cas, nous utilisons x0 et x1. Nous pouvons maintenant intégrer f1(x) entre x0 et x1 et ceci représentera l'estimation de l'intégrale par la méthode des trapèzes appelée ITRAP. Lorsque cette opération est terminée, ITRAP sera égale à h[f(x0) +f(x1)]/2. Ici, h représente la distance entre les points x1 et x0. Examinons la représentation graphique de la méthode des trapèzes. Tout d'abord, supposons que nous avons une fonction que nous devons intégrer. Nous allons prendre deux points, qui seront à x0 et x1. Avec ces deux points, nous pouvons trouver f(x0) et f(x1) et tracer une ligne entre les deux. Cette fonction linéaire a la forme d'un trapèze, d'où vient le nom méthode des trapèzes. Ici, l'aire d'un trapèze est la hauteur (h), qui se situe entre x1 et x0, multipliée par la moyenne des bases, c’est-à-dire la moyenne entre f(x0) et f(x1).
Maintenant, nous allons examiner la méthode de Simpson 1/3. La méthode de Simpson 1/3 utilise f2(x), qui est une équation quadratique passant par les points x0, x1 et x2. f2(x) peut être facilement intégrée entre x0 et x2. Avec la méthode de Simpson 1/3, cela donne une estimation de l'intégrale I comme étant (h/3)(f(x0) +4f(x1) + f(x2)). On l'appelle la méthode de Simpson 1/3 parce que h est divisé par trois. Pour que la méthode de Simpson 1/3 s'applique, les points x0, x1 et x2 doivent être équidistants. C'est-à-dire que h = x1 - x0 ou x2 - x1. Examinons la représentation graphique de la méthode de Simpson 1/3. Avec notre fonction, nous aurons trois points équidistants, x0, x1 et x2. Avec ces trois points, nous pouvons faire passer une équation quadratique. Et avec la méthode de Simpson 1/3, nous pouvons trouver l'aire sous cette équation quadratique. Ce que vous remarquerez sur la figure, c'est que l'aire sous la courbe verte n'est pas égale à l'aire sous la courbe en orange. Toutefois, elle est plus proche que l’estimation avec la méthode des trapèzes. Rappelez-vous que la distance entre les points est h.
Nous allons maintenant discuter de la méthode de Simpson 3/8. Comme vous l'avez peut-être deviné, la méthode de Simpson 3/8 utilise une équation cubique pour passer par les points x0, x1, x2 et x3. En intégrant cette équation cubique de x0 jusqu’à x3, on obtient (3h/8)*(f(x0)+3f(x1) +3f(x2) +f(x3)). Le nom de la méthode de Simpson 3/8 vient du fait que nous multiplions le polynôme par 3/8. Comme que pour la méthode de Simpson 1/3, la méthode de Simpson 3/8 nécessite que les points soient équidistants, ce qui signifie que h est égal à x1 - x0, ou x2 - x1, ou x3 - x2. Regardons maintenant la méthode de Simpson 3/8 graphiquement. Nous allons commencer avec quatre points, x0, x1, x2, et x3. Avec ces quatre points, nous allons faire passer une équation cubique, puis nous utiliserons la méthode de Simpson 3/8 pour trouver l'aire sous cette équation cubique. Rappelez-vous que les points sont équidistants les uns des autres, et les intervalles sont équivalent à h. Vous remarquerez que la méthode de Simpson 3/8 donne dans ce cas une assez bonne estimation de l'aire sous cette courbe.
Ensuite, nous allons voir comment appliquer ces méthodes à une série de points de données. Avec plusieurs points de données, nous pouvons simplement appliquer l'une des trois méthodes de Newton-Cotes : la méthode des trapèzes, la méthode de Simpson 1/3 ou la méthode de Simpson 3/8. Par exemple, avec les données présentées ici, nous pouvons appliquer une série de la méthode des trapèzes. Puisqu'ils sont également espacés, nous pouvons utiliser une notation condensée de la méthode des trapèzes pour plusieurs points de données. La méthode des trapèzes est égale à (h/2) fois f(x0) plus 2 fois la somme de tous les points intérieurs à f(xi), plus f(xn). La méthode des trapèzes, comme on l'a montré, n'est pas nécessairement la meilleure méthode pour des données également espacées. En fait, la méthode de Simpson 1/3 et la méthode de Simpson 3/8 seraient encore meilleures. En général, la méthode de Simpson 1/3 ou la méthode de Simpson 3/8 ont une performance similaire pour estimer l'intégrale sur la même surface. Par conséquent, si vous avez un nombre impair de points, vous pouvez utiliser la méthode de Simpson 1/3 pour intégrer sur l'ensemble des points de données. Comme que pour la méthode des trapèzes pour les points de données également espacés, vous pouvez également regrouper les diverses instances de la méthode de Simpson 1/3 pour obtenir une seule équation. Pour un nombre pair de points de données, vous pouvez utiliser la méthode de Simpson 3/8 pour les quatre premiers points, puis continuer avec la méthode de Simpson 1/3. Cela peut également être regroupé en une équation unique, mais complexe. Si vous avez des données non équidistantes, comme indiqué ici, vous pouvez utiliser une combinaison des la méthode des trapèzes, la méthode de Simpson 1/3 et la méthode de Simpson 3/8 pour obtenir la meilleure estimation possible de la réponse. Chaque fois que vous avez 3 points qui sont espacés de manière égale, vous pouvez utiliser la méthode de Simpson 1/3. S'il y a 4 points également espacés, vous pouvez utiliser la méthode de Simpson 3/8. Dans tous les autres cas, vous pouvez utiliser la méthode des trapèzes.
Enfin, regardons l'intégration de fonctions avec les méthodes de Newton-Cotes. Puisque vous avez la fonction, vous pouvez générer vos propres données. Vous pouvez continuer à générer des points de données jusqu'à ce que l'estimation de l'intégrale converge vers une certaine valeur. Comme vous pouvez le voir ici, la méthode des trapèzes est utilisée plusieurs fois pour la fonction et l'aire sous toutes ces intervalles en utilisant la méthode des trapèzes se rapproche de l'aire de la fonction. Au lieu d'utiliser la méthode des trapèzes, vous pouvez également utiliser la méthode de Simpson 1/3 et 3/8, à condition que les points soient également espacés. Vous devriez pouvoir obtenir une réponse plus précise avec les méthodes de Simpson avec moins de points de données.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.
Description: Cette vidéo met en œuvre la théorie des méthodes de Newton-Cotes dans un problème pratique, selon une approche étape par étape.
Bonjour, cette vidéo est IN|LV|03, et il s'agit d'un exemple étape par étape de l'utilisation des méthodes de Newton-Cotes pour résoudre des problèmes d'intégration numérique.
Examinons d'abord le problème. Utilisez les méthodes de Newton-Cotes appropriées pour intégrer les données suivantes. Il y a 16 points de données, et vous remarquerez que ces données ne sont pas également espacées. Vous utiliserez donc une combinaison de la méthode des trapèzes, la méthode de Simpson 1/3 et la méthode de Simpson 3/8. Examinons la solution à ce problème. Tout d'abord, regardons la disposition. Dans le coin supérieur gauche, vous aurez une représentation graphique des données. Sur le côté droit se trouve le tableau de données qui contiendra les calculs et les données brutes. En bas à gauche se trouvent les trois équations que nous utiliserons pour résoudre ce problème. Examinons ces équations. Tout d'abord, nous avons la méthode des trapèzes, qui sera utilisée pour 2 points consécutifs. Ensuite, nous avons la méthode de Simpson 1/3, qui sera utilisée pour 3 points consécutifs. Enfin, nous avons la méthode de Simpson 3/8 qui sera être utilisée pour 4 points consécutifs.
Traçons les données. Sur le graphique, vous pouvez voir que les données ne sont pas espacées de manière égale et qu'elles varient. L'étape suivante consiste à déterminer la distance entre tous les points x, que l'on peut nommer h. On peut donc prendre la différence entre le deuxième et le premier point, puis entre le troisième et le deuxième point, et ainsi de suite pour produire ce tableau. Vous remarquerez que certaine des distances sont égales entre les points donc nous pouvons potentiellement utiliser la méthode de Simpson 1/3 ou 3/8 pour les résoudre. Si ce n'est pas le cas, alors nous utiliserons la méthode des trapèzes. Déterminons d’abord quelle méthode de Newton-Cotes à utiliser et trouvons ensuite l'intégrale pour cette valeur, I. Les quatre premiers points de données 0, 0.1, 0.2 et 0.3 sont tous également espacés de 0.1 et donc la méthode de Simpson 3/8 peut être utilisée. Nous pouvons maintenant appliquer l'équation de la méthode de Simpson 3/8 en utilisant nos données et nos valeurs f(x). Dans le cas présent, f(x0) = 2.6, f(x1) = 3.18, f(x2) = 3.55 et f(x3) = 3.55. L'intégrale pour cette région est d'environ 0.989. Nous pouvons maintenant examiner notre prochaine série de points de données. Les trois points suivants sont espacés de 0.05, ce qui signifie que nous pouvons utiliser la méthode de Simpson 1/3 pour résoudre ces points. Ici, le h sera 0.05, puisque c'est l'espacement entre ces ensembles de points de données. L'estimation de l'intégrale ici est d'environ 0.340. L'ensemble de points suivant n'a pas d'espacement régulier, et nous allons donc prendre les deux points suivants et utiliser la méthode des trapèzes. Cela donne une estimation de l'intégrale entre ces deux points d'environ 0.0627. Et maintenant, nous continuons à travailler sur les données et à décider des méthodes à utiliser entre les méthode des trapèzes, la méthode de Simpson 1/3 et 3/8 jusqu'à ce que nous ayons trouvé toutes les aires de chaque section. Une fois que nous avons toutes les aires, nous pouvons les additionner pour obtenir l'aire sous l'intégrale totale entre 0 et 1 dans ce cas. Ici, la réponse est 2.60182 et nous avons maintenant terminé ce problème.
Ceci conclut la vidéo. Ce projet n'aurait pu être réalisé sans le soutien d'eCampusOntario et de l'Université d'Ottawa.