Si vous avez regardé la vidéo d’introduction, vous vous souviendrez que Chad a parlé des vidéos SO WHAT (QU’EN EST-IL?). Voici la première de ces vidéos.

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Le présent chapitre porte sur l’utilisation et sur la conversion des unités de mesure. Nous y traiterons notamment de l’utilisation d’unités de mesure à l’intérieur d’un même système :

Nous y traiterons également de la conversion d’unités de mesure d’un système à l’autre :

Dans le domaine des métiers, on s’habitue parfois à une certaine façon de faire, mais il est utile de comprendre la terminologie des systèmes de mesure lorsqu’on exerce des tâches pour lesquelles le langage utilisé est différent. Le présent manuel approfondit le vocabulaire mathématique pour faciliter la compréhension du langage de ce domaine.

À titre d’exemple, lorsqu’on enseigne les calculs relatifs à l’énergie (ou à la chaleur) aux monteurs d’installations au gaz, on leur présente deux types de valeurs. L’unité de mesure utilisée dans le système impérial est l’unité thermale britannique (BTU), et l’équivalent dans le système métrique est le kilowatt (kW). Au début, les étudiants et étudiantes ont souvent du mal à comprendre la relation de ces deux unités. Cela peut occasionner de la frustration et une incompréhension quant à la nécessité d’apprendre deux façons différentes de dire la même chose.

Or, il est important de connaître les deux unités dans les métiers qui concernent les installations au gaz, car, dans ce domaine, les appareils sont décrits à la fois en BTU et en kW. Si on n’est pas en mesure de passer d’une unité à l’autre et que des appareils reçoivent trop peu de gaz ou, pire encore, trop de gaz, il peut en résulter de graves conséquences sur le plan de la sécurité.

Il est donc important de savoir ce que signifient les différentes unités de mesure et comment passer de l’une à l’autre. Mon expérience en tant que formateur dans le domaine des métiers m’a appris que, une fois que les étudiants et étudiantes commencent à comprendre le vocabulaire des mesures et à pouvoir le visualiser et l’appliquer, ils assimilent beaucoup plus facilement les concepts liés aux mathématiques et aux mesures.

Je pense que la première chose à faire à ce stade-ci est de retracer l’histoire des unités de mesure et d’expliquer comment les systèmes métrique et impérial ont vu le jour.

L’histoire des unités de mesure en bref : systèmes métrique et impérial

Le système métrique

Avez-vous déjà entendu parler de l’homme qui est représenté à droite? Non? Moi non plus. Il s’agit de Nicolas de Condorcet, un mathématicien, philosophe et pionnier de la science politique. C’est un Français du 18^e siècle.

Qu’a-t-il à voir avec les mesures, me direz-vous? Condorcet a déclaré que le système métrique devait être « à tous les hommes, à tous les temps ».

À l’époque, il n’existait pas de système de mesure standard en France (ni ailleurs en Europe, probablement), et le système de mesure à privilégier faisait l’objet de débats. Les unités de base du système métrique sont tirées de la nature. Le mètre est une unité de longueur qui se fonde sur les dimensions de la Terre. Pour sa part, le kilogramme, qui est l’unité de masse, se fonde sur la masse d’un litre d’eau.

Le système métrique a été utilisé, laissé de côté, utilisé à nouveau, délaissé, puis il a enfin été adopté par la France en 1837. Au cours de cette période, le système métrique a également été adopté par la communauté scientifique. Il a continué à être révisé, mis à jour et adopté par différents pays et organismes dans les années qui ont suivi, jusqu’à devenir le modèle qu’on utilise aujourd’hui.

Le Canada a adopté officiellement le système métrique, mais le système de mesure impérial continue d’y être utilisé dans de nombreux contextes. La proximité des États-Unis, un pays qui utilise le système impérial, pourrait expliquer ce double usage.

 

Si vous souhaitez en savoir plus sur l’histoire du système métrique, consultez le lien suivant : History of the Metric System (Wikipédia)

 

Il se peut que vous rencontriez le sigle « SI » dans vos manuels. Celui-ci désigne le système international d’unités, qui est essentiellement la version moderne du système métrique. Ce système, établi par le Bureau international des poids et mesures en 1960, est reconnu dans la plupart des pays. Il s’agit du système de mesure le plus utilisé dans le monde.

 

Dans le présent manuel, nous nous en tiendrons au système métrique et aux unités qui en font partie. Cela dit, n’hésitez pas à consulter le lien suivant pour en apprendre davantage : Système international d’unités (Wikipédia)

Le système impérial

Le système de mesure impérial a été élaboré en Grande-Bretagne dans les années 1800; il a alors remplacé les normes de Winchester, qui étaient en place depuis la fin des années 1500. Le Moyen Âge a servi de toile de fond au développement du système de mesure britannique. Des milliers d’unités romaines, celtiques, anglo-saxonnes et d’autres unités fondées sur des coutumes locales ont été utilisées pour établir le système britannique. La Weights and Measures Act a été adoptée en Grande-Bretagne en 1824, ce qui a marqué le début du système impérial britannique officiel. Ce système a perduré jusqu’en 1864, soit jusqu’à l’adoption du système métrique par la Grande-Bretagne.

Les États-Unis utilisent leur propre version du système impérial, qui est similaire au système élaboré par les Britanniques.

 

Si vous souhaitez en savoir plus sur l’histoire du système impérial, consultez le lien suivant : Imperial Units (Britannica)

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La mesure linéaire peut se définir comme une mesure de longueur. La longueur d’une table, d’un morceau de tube et d’un terrain de football : voici des exemples de mesure linéaire. Nous pouvons aussi parler de distance.

Les mesures linéaires représentent une seule dimension, ce qui veut dire qu’une ligne ou qu’un seul plan est mesuré. Il s’agit simplement d’une sorte de ligne, qu’elle soit droite, courbe ou autre. Elle pourrait ressembler à une longue route droite en Saskatchewan ou bien à une voie étroite et venteuse à l’intérieur des terres de la Colombie-Britannique. Que la ligne soit droite ou non, cela n’a pas d’importance : ce que vous mesurez n’aura qu’une longueur.

Vous pouvez mesurer la longueur en utilisant différents types d’unités. Vous connaissez le mile, le pied, la verge et le pouce, mais avez-vous déjà entendu parler du furlong, du chaînon, de la perche ou de la lieue? Voilà des exemples de mesure linéaire selon le système impérial.

Et le système métrique alors? Tout le monde connaît le mètre, le centimètre et le millimètre. Mais qu’en est-il du micromètre, du nanomètre, du pentamètre, du tétramètre et de l’hexamètre?

Dans cette section, nous allons d’abord définir et utiliser les mesures de longueur métriques, puis les mesures de longueur impériales. Après cela, nous aborderons la conversion d’un système à l’autre.

Le système métrique de mesure linéaire

Si je vous demande de me donner un exemple d’unité de mesure métrique, que me répondrez-vous? Je pense que la plupart des gens proposeraient le mètre, le centimètre, voire le kilomètre.

Le système métrique de mesure linéaire a ceci d’intéressant qu’il est basé sur des mesures de 10. Pour cette raison, on le désigne souvent par système décimal.

Par exemple, le centimètre contient 10 millimètres, le décimètre, 10 centimètres et le mètre, 10 décimètres. Comprenez-vous? Une fois que vous l’aurez compris, il vous sera très facile d’utiliser le système métrique.

Autre fait intéressant sur le système métrique : tout provient d’une unité de base. Toutes les autres unités qui en découlent sont des multiples de 10. Consulte le tableau ci-dessous pour comprendre le fonctionnement.

Unité	Multiplicateur
kilomètre	1 000
hectomètre	100
décamètre	10
mètre (unité de base)	1
décimètre	0,1
centimètre	0,01
millimètre	0,001

Le tableau ci-dessus exprime l’idée que le mètre est le point de référence vers lequel remontent tous les autres nombres. Donc, pour passer du kilomètre au mètre, par exemple, il faut une multiplication par 1 000. Une distance d’un kilomètre équivaut à une distance de 1 000 mètres.

Pour la conversion du centimètre au mètre, le tableau indique qu’un centimètre est égal à un centième (1/100) d’un mètre. Nous multiplions donc un centimètre par 0,01 pour obtenir un mètre.

À ce stade, vous vous demandez peut-être s’il y a autre chose à savoir sur le système métrique de mesure linéaire. En réalité, plusieurs autres mesures utilisent le mètre comme unité de base. Consultez le tableau sidérant ci-dessous pour voir l’étendue des mesures dont le point de départ est le mètre.

Préfixe commun d’unité métrique	Multiplicateur
yotta	1 000 000 000 000 000 000 000 000
zetta	1 000 000 000 000 000 000 000
exa	1 000 000 000 000 000 000
péta	1 000 000 000 000 000
téra	1 000 000 000 000
giga	1 000 000 000
méga	1 000 000
kilo	1 000
hecto	100
déca	10
mètre (unité de base)	1
déci	0,1
centi	0,01
milli	0,001
micro	0,000001
nano	0,000000001
pico	0,000000000001
femto	0,000000000000001
atto	0,000000000000000001
zepto	0,000000000000000000001
yocto	0,000000000000000000000001

Est-ce que vous reconnaissez ces préfixes? On retrouve certains des préfixes des grands nombres comme méga, giga et tera en informatique lorsqu’il est question de mémoire et de vitesse.

Soyez sans crainte, nous ne les utilisons généralement pas dans les métiers, et nous nous en tiendrons aux quelques unités autour du mètre.

Utilisons maintenant le système linéaire métrique. Comme nous voulons passer d’une unité de mesure à une autre, nous utiliserons donc les deux tableaux ci-dessus pour ce faire.

Exercice pratique

Essayez de faire quelques exercices pratiques par vous-même et vérifiez les réponses de la vidéo pour voir si votre réponse est exacte. Assurez-vous de suivre les étapes décrites ci-dessus et demandez-vous si la valeur numérique de votre réponse devrait être supérieure ou inférieure à la valeur initiale.

Le système impérial de mesure linéaire

Le système impérial n’est pas aussi simple que le système métrique. Si on appliquait le principe du système métrique, on penserait que 1 pied équivaut à 10 pouces, mais ce n’est malheureusement pas le cas. Un pied est égal à 12 pouces, et un mile est égal à 5 280 pieds.

Qui sait pourquoi il y a 5 280 pieds dans un mile? Il s’avère que cela provient d’une mesure linéaire utilisée par les Romains. À l’époque romaine, un mile était égal à 5 000 pieds romains. Après, les Britanniques ont commencé à utiliser la mesure et ont décidé de la modifier pour l’adapter à l’agriculture, ce qui leur convenait, où ils aimaient utiliser le furlong pour mesurer la distance. Un furlong équivalait à 660 pieds, et il a été déterminé que 8 furlongs représentent 1 mile. Ainsi, la multiplication de 8 660 par 8 donne 5 280 pieds.

Le pied a également une signification historique. Si vous pensez qu’il est basé sur la longueur moyenne d’un pied humain, vous avez tout bon. Certains croient qu’il s’agit de la longueur de la pointure moyenne des chaussures. Quoi qu’il en soit, l’emploi du mot « pied » prend son sens.

Consultez le tableau ci-dessous pour avoir une idée du fonctionnement du système impérial de mesure linéaire.

Nom de l’unité	Valeurs équivalentes
Pouce	0,083 pied 0,028 verge
pied	12 pouces, 0,333 verge
verge	3 pieds, 36 pouces
brasse	6 pieds, 72 pouces
perche	5,50 verges, 16,5 pieds
furlong	660 pieds, 220 verges, 1/8 de mile
mile	5 280 pieds, 1 760 verges, 320 perches
Mile nautique	6 076 pieds, 1,151 mile

À première vue, le système impérial semble plus déroutant que le système métrique. En réalité, si nous avions à nous y retrouver dans toutes ces mesures de distance, cela pourrait bien être le cas. Heureusement, la plupart du temps, nous n’aurons que trois mesures à utiliser parmi celles-ci. Il s’agit du pouce, du pied et du mile. On retrouvera parfois la verge. Par exemple, un terrain de football américain est 100 verges de long, ou 120 si on tient compte des deux zones des buts.

Il faut encore une fois utiliser le système impérial et savoir convertir des valeurs dans ce système. Avant de commencer, pensez à la réponse que vous cherchez à obtenir. La valeur numérique obtenue sera-t-elle supérieure ou inférieure à la valeur initiale?

Examinons le cas de la conversion d’un pied en pouces par exemple. Si on coupait un morceau de tube de deux pieds de long, pensez-vous qu’il fera plus que deux pouces de long ou moins que deux pouces de long? Je pense que nous sommes tous d’accord pour dire qu’il fera plus que deux pouces de long; en fait, il fera 24 pouces de long. Vous n’êtes peut-être pas capable d’arriver à 24 pouces immédiatement, mais vous pouvez déduire que la valeur en pouces correspondant à deux pieds est sans doute supérieure à deux.

Voici notre premier exemple.

Exercice pratique

Essayez de faire un exercice pratique par vous-même et vérifiez les réponses de la vidéo pour voir si votre réponse est exacte. Assurez-vous de suivre les étapes décrites ci-dessus et demandez-vous si la valeur numérique de votre réponse devrait être supérieure ou inférieure à la valeur initiale.

Conversion de mesures linéaires entre système métrique et système impérial

Que se passe-t-il lorsqu’on convertit des valeurs d’un système à l’autre? Le fonctionnement est le même, mais nous devons nous familiariser avec quelques nouvelles valeurs.

Le tableau ci-dessous énumère les nombres permettant d’effectuer des conversions entre mesures linéaires métriques et mesures linéaires impériales. Vous remarquerez que les nombres équivalents représentent des unités de longueur semblable (ou utilisés de manière semblable) dans différentes situations.

Il y a par exemple le cas du kilomètre et du mile. Les deux servent notamment à représenter la distance parcourue par une voiture, un train, un autobus ou un avion. On n’utilise pas le centimètre ou son équivalent impérial, le pouce, pour calculer ce genre de distance. Cela n’est tout simplement pas pratique.

De même, si on mesurait la longueur d’une maison, on utiliserait probablement le mètre ou son équivalent impérial, le pied.

Il est également à noter que nous ne convertissons pas chaque nombre, qu’il soit du système métrique ou du système impérial, à sa valeur équivalente dans l’autre système. Comme nous n’utilisons pas la plupart des unités, il n’est pas vraiment nécessaire de trouver les valeurs dans toutes les unités. Cela dit, si vous souhaitez trouver et examiner vous-même tous les chiffres sur Internet, ou peut-être même utiliser les tableaux ci-dessus et ci-dessous, il serait probablement utile de comprendre comment les relations des unités de mesure linéaire fonctionnent les unes avec les autres.

Métrique	Équivalent impérial
1 mètre	3,28 pieds
1 kilomètre	0,62 mile
1 centimètre	0,393 pouce
1 millimètre	0,0394 pouce

Il serait peut-être aussi utile d’examiner ces nombres à l’inverse.

Impérial	Équivalent métrique
1 pied	0,305 mètre
1 mile	1,61 kilomètre
1 pouce	2,54 centimètres
1 pouce	25,4 millimètres

Voici comment cela fonctionne.

Nous utilisons des miles et des kilomètres dans cet exercice. Nous savons que 1 mile est égal à 1,61 kilomètre.

Nous devons maintenant trouver la réponse inverse. Dans ce cas, combien y a-t-il de miles dans un kilomètre? Encore une fois, posez-vous la question : la valeur numérique devrait-elle être supérieure ou inférieure à 1?

Ainsi, nous devons faire le calcul suivant pour trouver notre réponse :

Nous obtenons donc 0,62 mile pour 1 kilomètre.

Nous avons trouvé une constante à l’aide d’une autre. Vous pouvez faire cette démarche avec n’importe quel nombre utilisé pour faire la conversion de valeurs métriques et impériales.

Poursuivons. Nous allons maintenant commencer à passer d’un système à l’autre, et la façon la plus facile d’y arriver est de faire quelques exercices.

 

Exercices pratiques

Essayez de faire quelques exercices pratiques par vous-même. Assurez-vous de suivre les mêmes étapes que dans les exemples ci-dessus et de vérifier les réponses vidéo pour voir si votre réponse est bonne.

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Combien pesez-vous?

Selon Internet, « qui a toujours raison », l’homme canadien moyen pèse 182 livres, ou 82,7 kilogrammes, et la femme canadienne moyenne pèse 153 livres, ou 69,4 kilogrammes.

La livre et le kilogramme sont deux des façons de mesurer le poids. Vous entendrez peut-être parfois parler de masse.

Le poids et la masse sont en fait deux concepts différents, mais nous faisons la plupart du temps référence à la même chose. Le poids fait référence à la quantité de force que subit un objet en raison de la gravité. Le poids change avec l’attraction gravitationnelle, notamment si vous vous trouviez sur la Lune, par exemple. La masse d’un objet demeure la même, peu importe l’attraction gravitationnelle d’un objet. Elle renvoie à la quantité de matière de l’objet, qui ne change pas.

Quoi qu’il en soit, nous ferons référence au même concept lorsque nous parlons de poids et de masse.

Si vous voulez en savoir davantage sur la différence entre le poids et la masse, consultez le lien suivant : Différence entre masse et poids (Wikipédia)

 

Le système métrique du poids

Pour mesurer le poids en unités métriques, nous suivons des étapes semblables à celles utilisées pour les mesures linéaires métriques. Nous commençons par l’unité de base, le gramme, à partir duquel on obtient tous les autres poids métriques à l’aide d’un multiplicateur.

Si vous vous souvenez, le tableau comportait de nombreuses mesures linéaires métriques, et nous ne les avions pas vraiment abordées systématiquement. C’est pareil pour les mesures de poids. Nous ne les aborderons pas toutes, seulement celles que nous utilisons le plus souvent.

Donc, en utilisant le gramme comme unité de base, voici ce que nous avons :

Unité	Multiplicateur
kilogramme (kg)	1 000
gramme (unité de base) (g)	1
centigramme (cg)	0,01
milligramme (mg)	0,001

Nous pouvons conclure à partir de ce tableau qu’il y a 1 000 grammes dans un kilogramme, et 1 000 milligrammes dans un gramme. Encore une fois, nous pouvons passer d’une unité à une autre en utilisant le multiplicateur.

Introduisons une autre valeur : la tonne métrique.

Juste pour le plaisir, notons le poids métrique de quelques articles courants (ou peut-être inhabituels).

Exemple	Poids
Usain Bolt (sprinteur de la Jamaïque)	94 kilogrammes
Colibri	4 grammes (moyenne)
Ours grizzly	300 kilogrammes (moyenne pour le mâle adulte)
Un électron	9,109 × 10-31 kilogrammes (très léger)
Le soleil	1,989 × 1030kilogrammes (très lourd)

La meilleure façon pour nous de travailler avec les poids métriques est de prendre quelques exemples pour nous mettre à l’aise.

Exercice pratique

Essayez de répondre seul.e à un exercice pratique, et vérifiez la réponse vidéo pour voir si vous avez bien répondu à la question. Assurez-vous de suivre les étapes décrites ci-dessus et demandez-vous si la valeur numérique devrait être supérieure ou inférieure à la valeur initiale.

Le système impérial de poids

Malgré la riche histoire du système impérial, nous nous en tiendrons à la base.

Si vous voulez en savoir davantage sur l’histoire du système impérial de poids, consultez le lien suivant : Imperial Units (Britannica)

 

Ici, nous allons traiter de seulement trois différentes mesures de poids du système impérial. Les voici :

Nom de l’unité	Valeurs équivalentes
once (oz)	1/16 ou 0,0625 livre
livre (lb)	16 onces
tonne	2 000 livres

Nous allons en introduire une autre, le « stone ». Vous entendez peut-être parfois ce terme. Il est certainement beaucoup plus répandu en Grande-Bretagne qu’au Canada. Un stone équivaut à 14 livres. Le stone est une forme de mesure de poids développée il y a plusieurs années, lorsque les gens échangeaient des biens. À l’origine, un « stone » valait entre 5 et 40 livres, mais il est maintenant stable à 14 livres.

Encore une chose, la tonne qui s’affiche sur le tableau est différente de son équivalent métrique. D’abord, l’orthographe est différente : il y a « tonne » métrique et « tonne » impériale. Deuxièmement, il y a le poids réel. Une tonne métrique pèse 1 000 kilogrammes, tandis qu’une tonne impériale pèse 2 000 livres. Ce n’est pas tout! Il y a la tonne courte, qui pèse 2 000 livres, et la tonne longue, qui pèse environ 2 400 livres.

Encore une fois, voici les articles précédents, mais maintenant selon le poids impérial.

Exemple	Poids
Usain Bolt (sprinteur de la Jamaïque)	206,8 livres
Colibri	0,14 once (moyenne)
Ours grizzly	660 livres (moyenne pour le mâle adulte)
Un électron	2 × 10-30livres (toujours léger)
Le soleil	4,385 × 1030 livres (toujours lourd)

Regardons maintenant quelques exemples de conversion entre les unités impériales de poids.

Nous allons voir un autre exemple, mais nous élaborerons un peu plus la question.

Exercice pratique

Essayez de répondre seul.e à un exercice pratique, et vérifiez la réponse vidéo pour voir si vous avez bien répondu à la question. Assurez-vous de suivre les étapes décrites ci-dessus et demandez-vous si la valeur numérique devrait être supérieure ou inférieure à la valeur initiale.

Conversion entre les mesures de poids métriques et impériales

Nous ferons la même chose que dans la partie sur la mesure linéaire, et traiterons seulement de quelques-unes des mesures de poids les plus communes selon les systèmes impérial et métrique. Encore une fois, les unités métriques converties en unités impériales, puis reconverties en métriques, sont des unités qui représentent des catégories de poids semblables. Par exemple, une tonne métrique serait semblable à une tonne impériale.

Vous trouverez ci-dessous les numéros métriques à convertir en valeurs impériales, puis à reconvertir en valeurs métriques.

Métrique	Équivalent impérial
kilogramme (kg)	2,2 livres
gramme (g)	0,035 once
tonne	2 200 livres

Impérial	Équivalent métrique
livre (lb)	0,454 kilogramme
once (oz)	28,35 grammes
tonne	909 kilogrammes

Passons directement aux exemples.

Exercice pratique

Essayez de répondre seul.e à un exercice pratique, et vérifiez la réponse vidéo pour voir si vous avez bien répondu à la question. Assurez-vous de suivre les étapes décrites ci-dessus et demandez-vous si la réponse devrait être supérieure ou inférieure à la valeur initiale.

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Regardez l’image de feu à gauche. Si vous deviez décrire ce feu à l’aide de trois mots (chaleur, température et énergie), lequel selon vous le décrirait le mieux?

Vous pourriez dire que les trois mots pourraient décrire le feu, et vous auriez raison. Cette question peut être déroutante, car ces trois termes peuvent le décrire. Comme ce chapitre porte sur l’énergie thermique, vous imaginez que nous allons étudier la question de ce point de vue. Dans la prochaine section, nous aborderons la température, mais pour l’instant, contentons-nous de savoir que la température est une mesure de l’intensité de la chaleur. Nous pourrions décrire le feu comme étant très chaud, ce qui indique une intensité élevée de chaleur.

À ce stade, nous devrions définir l’énergie. Je me réfère à WIKIPÉDIA pour la définition :

L’énergie : est une mesure de la capacité d’un système à modifier un état, à produire un travail entraînant un mouvement, un rayonnement électromagnétique ou de la chaleur.

Merci Wikipédia!

Il existe plusieurs formes d’énergie. Dans cette section, nous nous intéresserons seulement à l’énergie thermique.

Si vous souhaitez en savoir davantage sur les différentes formes d’énergie, consultez le lien suivant : Types of Energy (Solar Schools)

 

Mesurer l’énergie thermique

Dans les deux dernières sections, nous avions commencé par examiner les unités métriques, puis les unités impériales. Nous n’aborderons que deux unités dans chaque système, et nous allons donc les introduire en même temps. Nous examinerons ensuite des exemples à l’intérieur des systèmes métrique et impérial, puis nous ferons des conversions entre les deux systèmes. Voici les quatre unités que nous allons aborder :

Métrique	Impérial
kilowatts (kW)	unité thermique britannique (BTU)
calories (cal)	joules (J)

Examinons la relation entre chacune des unités.

Unité	Équivalent
kilowatt	3412 BTU    860 421 cal
Unité thermique britannique	0,293 kW   1 055 J
calorie	4,186 J
joules	0,239 cal

Il est à noter qu’il manque quelques valeurs équivalentes, comme le nombre de kilowatts dans un joule. On n’en tient pas compte, car elles sont soit trop importantes soit trop petites pour nous intéresser. Les valeurs ci-dessus sont généralement celles qui nous importent.

Autre fait à constater : nous utilisons souvent les kilocalories et les kilojoules plutôt que les calories et les joules. Une kilocalorie (kcal) vaut 1 000 calories, et c’est la valeur nécessaire pour augmenter la température d’un kilogramme d’eau de 1 °C. Comme nous l’avons appris avant, un kilogramme représente 1 000 grammes. Si l’on suit cette logique, il faudrait une calorie pour augmenter la température d’un gramme d’eau de 1 °C.

On suit le même raisonnement pour le joule. Un kilojoule équivaut à 1 000 joules. Si on utilise cette équivalence pour l’augmentation de la température de l’eau, on constate qu’il faut un joule pour augmenter la température d’un gramme d’eau de 0,24 °C. Selon le même raisonnement que pour la calorie et la kilocalorie, on aurait besoin d’un kilojoule pour augmenter la température d’un kilogramme d’eau de 0,24 °C.

Nous pouvons pousser cette logique et parler de l’énergie thermique dans une unité thermique britannique. L’énergie thermique dans une BTU est suffisante pour augmenter la température d’une livre d’eau d’un degré Fahrenheit. Il s’agit généralement du montant d’énergie thermique dans une allumette.

Passons en revue quelques exemples pour nous y retrouver.

Essayez de résoudre un problème par vous-même.

Exercice pratique

Essayez de répondre seul.e à un exercice pratique, et vérifiez la réponse vidéo pour voir si vous avez bien répondu à la question. Assurez-vous de suivre les étapes décrites ci-dessus, et demandez-vous si la valeur numérique devrait être supérieure ou inférieure à la valeur initiale.

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Les unités dans la partie précédente de cette section servaient à la mesure de l’énergie thermique. Les réponses que nous avions calculées indiquaient une quantité de chaleur. Lorsque nous parlons de température, nous ne mesurons pas la quantité, mais plutôt l’intensité de la chaleur.

Par exemple, on ressent beaucoup plus le froid lorsqu’on sort et qu’il fait −10 °C que le chaud lorsqu’il fait +20 °C.

Selon vous, quelle quantité de chaleur y a-t-il −10 °C? Honnêtement, qui s’en soucie? Vous n’avez qu’à rentrer et ressortir plus tard.

Si je vous demandais de m’indiquer les unités que vous associez généralement à la température, que me diriez-vous?

Je suppose que la majorité répondrait les degrés Celsius ou Fahrenheit. Il s’agit des deux méthodes les plus communes pour décrire la chaleur au Canada. Comme on y utilise le système métrique, on risque de voir la température en Celsius.

Avez-vous déjà entendu parler des échelles de température Kelvin et Rankine?

Ces échelles de température s’appuient sur le concept de « température absolue ».

Si vous cherchez la température absolue sur Internet, vous trouverez quelques bonnes définitions, et vous en comprendrez même certaines. En fait, l’échelle de température absolue commence au zéro absolu, dont la définition simplifiée est la suivante :

ZÉRO ABSOLU : La température à laquelle tout mouvement moléculaire cesse.

Comme les molécules ne bougent plus, elles ne génèrent plus de chaleur.

 

Si vous voulez en savoir davantage sur le zéro absolu, consultez ce lien : Zéro absolu (Wikipédia) 

 

Commençons par les échelles Celsius et Fahrenheit, les versions métrique et impériale pour la température, respectivement. Vous avez peut-être remarqué en regardant la télévision canadienne que les températures affichées sont beaucoup plus petites que celles sur les chaînes américaines. Ceci s’explique par le fait qu’une température sur l’échelle Fahrenheit se traduit par une température semblable beaucoup plus petite sur l’échelle Celsius.

Examinons par exemple la température ambiante.

Y a-t-il encore des gens qui regardent la télévision, ou seulement Internet et Netflix? Mais, revenons aux degrés Celsius et Fahrenheit.

Nous voulons d’abord apparier l’échelle métrique à l’échelle impériale, puis ajouter les équivalents sur l’échelle absolue. Commençons par le point ébullition de l’eau.

L’eau bout à 100 °C et à 212 °F. À noter que la lettre « C » représente le Celsius, tandis que la lettre « F » représente le Fahrenheit.

Trouvons ensuite le point de congélation de l’eau. L’eau gèle à 0 °C et à 32 °F. Regroupons ces éléments dans un petit dessin.

Nous allons voir comment passer des Celsius aux Fahrenheit, et vice-versa, mais examinons d’abord les échelles de température absolue.

Échelle de température absolue

Métrique	Kelvin
Impérial	Rankine

Si nous les ajoutions à notre dessin, voilà à quoi cela ressemblerait.

À noter que le dessin n’est pas à l’échelle. S’il l’était, alors le zéro absolu se retrouverait un peu plus à gauche. N’oubliez pas qu’au zéro absolu, il n’y a aucun mouvement moléculaire et donc aucune production de chaleur.

Commençons par les degrés Celsius et Kelvin. Vous remarquerez sur le dessin ci-dessus que 0 °K, également appelé zéro absolu, est égal à –273 °C.

Il est aussi important de retenir que 1 °K est égal à –272 °C.

Cela signifie qu’un changement d’un degré Kelvin est égal à un changement d’un degré Celsius.

Si on passe de –273 °C à 0 °C, cela représente un changement de 273 degrés. Ce changement se traduit sur l’échelle Kelvin par un changement de 0 °K à 273 °K.

Les échelles Fahrenheit et Rankine suivent un modèle semblable. Le zéro absolu se situe à 0 °R sur l’échelle Rankine et à –460 °F sur l’échelle Fahrenheit.

Encore une fois, on constate que 1 °R est égal à –459 °F, ce qui signifie qu’un changement d’un degré sur l’échelle Rankine équivaut à un changement d’un degré sur l’échelle Fahrenheit.

En appliquant cette idée sur les échelles de température du système impérial, nous obtiendrions ce qui suit. Le passage de –460 °F à 0 °F représente un changement de 460 °. Sur l’échelle Rankine, on passerait de 0 °R à 460 °R.

Voici ce que cela représente mathématiquement :

Voyons quelques exemples de transition d’une échelle à une autre. Ces exemples sont assez simples, et on n’a pas besoin de passer par toutes les étapes habituelles.

Celsius à Fahrenheit et Fahrenheit à Celsius

C’est probablement la partie du chapitre que nous attendions tous. Le va-et-vient constant entre les degrés Celsius et Fahrenheit est probablement le calcul de température le plus répandu que les personnes de métier doivent faire.

Il peut s’agir de calculer l’augmentation de température sur un ensemble de raccordement pour appareil au gaz en degrés Celsius ou Fahrenheit, ou de changer les chiffres dans les livres de code d’une désignation à l’autre. Un cuisinier ou un boulanger peut devoir suivre une recette qui indique la température du four en Celsius, alors que son four n’indique que des Fahrenheit. Dans tous les cas, il est important de pouvoir faire la conversion entre les deux échelles de température.

Voici la formule lorsqu’on passe des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit :

Il y a deux choses à noter ici : L’une est l’ordre dans lequel le calcul doit être effectué. Il faut d’abord multiplier le degré Celsius par 9/5. Il faut ensuite ajouter 32.

Cette démarche respecte les règles de mathématiques, que nous expliquerons en détail dans le prochain chapitre. Pour l’instant, respectez simplement la démarche.

La deuxième chose à noter est que la fraction peut également être exprimée sous la forme d’un nombre. Écrire la formule à l’aide d’un chiffre plutôt qu’une fraction ressemblerait à ceci :

Vous pouvez utiliser n’importe laquelle des deux formules, car elles donnent la même réponse. Il suffit de choisir celle avec laquelle vous êtes le plus à l’aise.

Voyons maintenant quelques exemples.

Exercices pratiques

Essayez de résoudre seul.e quelques exercices pratiques, et vérifiez les réponses vidéo pour voir si vos réponses sont exactes.

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La gestion des pressions de la vie peut certainement être un exercice d’équilibriste. La famille, le travail, l’argent et beaucoup d’autres choses agréables font partie de la vie. Comment décririez-vous cette pression?

La pression dont il est question dans cette section est différente des pressions de la vie quotidienne.

Le mot pression a en réalité différentes définitions. Voici celle que nous allons travailler :

Pression : La force exercée par un objet sur un autre, ou la force exercée par un objet par unité de surface. Il pourrait s’agir de n’importe quelle surface, mais il est normalement question du pouce carré ou du mètre carré.

Lorsqu’on parle de pression, on commence par la livre par pouce carré (psi). La livre par pouce carré est une version impériale de mesure de la pression, et la plupart d’entre nous la connaissent probablement. On l’utilise lorsqu’on gonfle les pneus d’une auto ou d’un vélo, ou lorsqu’on parle de la pression de l’eau.

La mesure métrique de pression la plus utilisée est le pascal (Pa), qui est souvent mesuré en groupes de 1 000, qu’on appelle le kilopascal (kPa), selon la nomination habituelle du système métrique. Comme la pression est définie comme la force par unité de surface, il conviendrait de définir le pascal. Un pascal est égal à la pression d’un newton par mètre carré (n/m²), où le newton est une mesure de la force.

Voici la définition technique de newton.

Newton : l’unité de mesure de la force nécessaire pour déplacer (ou accélérer) un objet qui pèse un kilogramme sur une distance d’un mètre par seconde au carré.

La notion de force peut également englober les livres, qui peuvent être définies comme une unité de force. On parle parfois de livre-force ou lbf.

Quoi qu’il en soit, nous avons nos deux mesures de force avec lesquelles travailler, l’une étant le pascal (Pa) (ou kilopascal [kPa]), et l’autre, la livre par pouce carré (psi).

Ce ne sont pas les seules mesures de pression que nous utiliserons. Deux autres mesures de pression communes dans les métiers sont les pouces de colonne d’eau et les pieds de tête.

Les deux mesures font références à une colonne d’eau. L’idée est qu’une colonne d’eau crée de la pression à la base de la colonne. Plus la colonne est haute, plus la pression est forte. Une livre par pouce carré équivaut à une colonne d’eau de 2,31 pieds de haut. La pression à la base de cette colonne serait de 1 psi. Il s’avère que 27,72 pouces équivalent à 2,31 pieds, et donc la base d’une colonne d’eau de 27,72 pouces (2,31 pieds) subirait une pression d’une livre par pouce carré.

Si vous vous demandez si ce système de mesure fonctionne pour d’autres liquides, la réponse est oui. Il est également courant de mesurer la pression à l’aide des pouces de mercure (Hg).

Pouces de mercure (Hg) : Il s’agit d’une unité commune pour mesure le vide. Il est nécessaire de mesurer le vide pour les pompes à vide dans les centres médicaux ou pour les systèmes de réfrigération. Il y a 2,04 pouces de mercure pour 1 livre par pouce carré.

Voyons quelques autres exemples de façons d’exprimer la pression.

Bar : La pression moyenne approximative au niveau de la mer (elle est réellement de 1,013 bar), ce qui est aussi l’équivalent de 100 000 pascals.

Torr : Il devait à l’origine être égal à 1 mmHg, mais ce n’est plus tout à fait le cas. Il se définit maintenant comme 1/760^e d’une atmosphère, ou une atmosphère est égale à 101,325 kPa. L’atmosphère correspond à la pression au niveau de la mer exercée sur tous les objets. On entend souvent parler de pression atmosphérique normale, qui est de 14,7 psi.

Dans tous les cas, un torr est environ égal à 133,32 pascals.

Regroupons les principales mesures de pression dans un tableau, en commençant par la livre par pouce carré.

Une livre par pouce carré est égale à :

• 6,895 kilopascals (kPa)
• 2,04 pouces de mercure (Hg)
• 2,31 pieds de tête (eau)
• 27,72 pouces de colonne d’eau (pouces W. C.)

Comme dans les parties précédentes du chapitre, voici quelques exemples pour effectuer des conversions entre ces chiffres.

Exercices pratiques

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Si vous utilisez la version imprimée, PDF ou en livre numérique de ce livre, consultez le lien ci-dessus pour répondre au questionnaire. Les questions du questionnaire sont également fournies en annexe A à la fin du livre pour une utilisation hors ligne.

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Que signifie « l’ordre des opérations » en mathématiques? Il s’agit d’un ensemble de règles qu’on doit respecter lorsqu’on fait des équations mathématiques. Pourquoi avons-nous besoin de règles? Sans règle, vous pourriez obtenir deux réponses différentes pour la même question mathématique.

Regardez l’équation suivante et calculez ce qui semble être la bonne réponse selon vous.

Ici, l’idée est que vous ne pouvez pas avoir deux réponses pour la même question. Cela ne fonctionne tout simplement pas en mathématiques. Une seule des deux réponses est correcte or, dans les deux cas, les calculs réels (c’est-à-dire ceux effectués à l’aide de la calculatrice) sont corrects. Vous n’avez commis aucune erreur. Le problème : l’ordre des opérations dans une des options est incorrect.

La bonne réponse est l’option B.

La question suivante à se poser : « Quelles sont les règles à suivre lorsqu’on fait des équations? »

C’est ici qu’entre en jeu le terme « PEMDAS ».

PEMDAS

PEMDAS est un acronyme utilisé pour définir l’ordre des opérations en mathématiques. Le PEMDAS établit l’ordre des calculs lorsque des équations comprennent différentes opérations comme l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

L’exemple ci-dessus démontre que ces lignes directrices permettront d’éviter de commettre des erreurs lorsqu’on résout des problèmes mathématiques.

PEMDAS

• Parenthèses
• Exposants
• Multiplication
• Division
• Addition
• Soustraction

Le PEMDAS nous indique la priorité des opérations lorsque nous faisons des calculs dans une équation. Par exemple, il faut faire la multiplication avant l’addition, et l’addition avant la soustraction.

On devrait tous connaître la division, la multiplication, l’addition et la soustraction, mais qu’en est-il des parenthèses et des exposants? De quoi s’agit-il, et comment fonctionnent-ils?

Selon le PEMDAS, les parenthèses sont le premier point à régler, et voici à quoi elles ressemblent :

Les crochets font parfois référence aux « parenthèses », et en anglais on utilise parfois l’acronyme BEDMAS plutôt que PEDMAS. Ce sont deux termes interchangeables, et le symbole pour les parenthèses est le suivant :

Les crochets sont un outil qui permet de regrouper des chiffres ou des symboles. On commence par effectuer les calculs entre crochets (ou parenthèses).

Par exemple :

Dans cette situation, on devrait d’abord calculer 5 x 9, puis résoudre le reste de l’équation.

Dans l’ordre des opérations, les exposants sont deuxièmes. Avez-vous déjà vu ceci dans un problème mathématique?

Lorsqu’on parle d’exposant, il s’agit du 9³. Plus précisément, le 3 est l’exposant.

L’exposant indique le nombre de fois qu’un nombre se multiplie par lui-même dans une équation. Dans ce cas, le 3 indique qu’on multiplie 9 par trois.

Voyons un autre exemple pour comprendre le fonctionnement des exposants.

Après les crochets et les exposants, on passe à la division, à la multiplication, à l’addition, puis à la soustraction.

Voici quelques exemples pour voir si vous avez bien compris.

Comme vous le voyez maintenant, si vous n’aviez pas suivi les règles de priorité des opérations, les choses se seraient compliquées. Vous auriez pu obtenir différentes réponses. Pourriez-vous imaginer un examen à choix multiples, ou chaque réponse semble bonne, selon la manière dont vous résolvez le problème mathématique?

Voilà pourquoi PEMDAS est si important!

Quelques exemples de plus s’imposent.

Après avoir répondu à quelques questions et avoir appris à utiliser PEMDAS, vous pourrez calculer n’importe quelle équation ou formule mathématique. Après un certain temps, vous saurez naturellement quelles sont les étapes à suivre.

Exercices pratiques

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Avez-vous déjà rencontré au cours de vos études de mathématiques une situation où vous deviez résoudre une variable qui ne semblait pas se trouver au bon endroit? Regardez l’exemple suivant pour voir ce que je veux dire.

Dans un monde idéal, vous aimeriez résoudre « A » et obtenir en même temps les valeurs de « B » et « H ».

 

Mais que se passerait-il si on vous donnait « A » et que vous deviez résoudre « B »? Comment procéderiez-vous?

 

La façon de procéder ici serait de déplacer les variables et d’isoler « B ». Cela signifie que « B » se trouve d’un côté de l’équation, tout seul, et que tout le reste se trouve de l’autre côté. Regardez à nouveau l’équation une fois que cela a été fait.

Cette modification de la formule s’appelle « transposition » d’une équation.

Ce n’est pas aussi simple que de déplacer des objets. Il existe des règles pour en arriver là, et ce sont ces règles et leur application que nous allons aborder dans cette partie du chapitre.

Ce qu’il faut retenir de plus important lors de la transposition d’équations est que tout ce qui est fait d’un côté de l’équation doit également être fait de l’autre côté de l’équation.

Si vous regardez cela d’un point de vue mathématique, c’est logique. Nous avons déjà défini qu’une équation est constituée de deux expressions mathématiques séparées par un signe égal.

Cela signifie que les variables et constantes d’addition, de soustraction, de division et de multiplication d’un côté de l’équation sont égales à toutes les variables d’addition, de soustraction, de division et de multiplication de l’autre côté de l’équation.

Ainsi, si vous décidez d’ajouter 5 à un côté, vous devez ajouter 5 à l’autre côté. Cela permet de conserver l’égalité de l’équation.

Regardez l’exemple suivant.

Nous avons ici une équation qui est exacte. Ajoutez maintenant 5 du côté gauche de l’équation, et vous verrez que, pour que l’équation reste vraie, vous devrez ajouter 5 du côté droit de l’équation.

Gardez à l’esprit qu’il s’agit d’un exemple où nous avons ajouté quelque chose d’un côté. Si nous avions soustrait, divisé oumultiplié, les choses seraient différentes. Nous aurions dû faire la même chose de l’autre côté.

Transposition d’équations en utilisant l’addition et la soustraction

Commencez par une équation simple.

Ajoutez ensuite 4 à l’un des côtés de l’équation et résolvez le problème.

Comme on a ajouté 4 du côté gauche de l’équation, on doit aussi ajouter 4 du côté droit de l’équation. On obtient :

Tel qu’indiqué précédemment, la règle est que tout ce que vous faites d’un côté, vous devez le faire de l’autre. Dans ce cas, si nous ajoutons 4 à un côté, nous devons ajouter 4 à l’autre côté pour que l’égalité soit respectée.

La soustraction fonctionne de la même façon. Si nous devons soustraire 4 d’un côté, nous devons soustraire 4 de l’autre côté pour que l’égalité soit respectée.

Essayons ce concept avec une équation qui contient une variable inconnue. Regardez l’équation suivante et résous la valeur de « J ».

Pour résoudre « J », nous devons isoler « J » d’un côté de l’équation, et le côté où nous isolons « J » n’a pas d’importance. Si nous suivons notre règle, pour isoler« J », nous devrons nous débarrasser du 7 du côté gauche. La question est de savoir comment procéder. En gros, ce que nous devons faire, c’est déplacer le 7 du côté gauche vers le côté droit.

Une fois de plus, nous devons toujours garder à l’esprit que tout ce que nous faisons d’un côté, nous devons le faire de l’autre.

Commence par ceci. Êtes-vous d’accord avec le fait que 7 − 7 = 0?

Et si nous soustrayons 7 du côté gauche de l’équation? Il ne nous restera plus que « J » sur le côté gauche, ce qui résout le problème de l’isolement de « J ».

Mathématiquement, ce n’est pas encore exact car nous n’avons traité que le côté gauche de l’équation. Ce que nous devons faire maintenant, c’est la même chose du côté droit et résoudre l’équation. Nous finissons donc par soustraire 7 du côté droit de l’équation pour que tout soit à nouveau égal.

Exercices pratiques

Il est maintenant temps de répondre à quelques questions pour vous exercer. Assurez-vous de consulter les réponses vidéo pour voir comment vous vous êtes débrouillé.

Transposition d’équations à l’aide de la multiplication et de la division

La transposition d’équations à l’aide de la multiplication et de la division utilise le même principe de base que l’addition et la soustraction, c’est-à-dire que tout ce que vous faites d’un côté, vous devez le faire de l’autre.

Avant de nous plonger dans cette partie du chapitre, nous devrions nous rafraîchir un peu la mémoire et parler des réciproques en rapport avec les mathématiques. Regardez les deux nombres suivants, l’un étant un nombre entier et l’autre une fraction.

N’oubliez pas que lorsque nous écrivons le chiffre 4, nous pourrions aussi l’écrire comme suit :

Vous souvenez-vous de ce qui se passe si nous les multiplions ensemble?

Les réciproques sont des nombres qui, multipliés ensemble, sont égaux à 1. C’est un concept important lorsque l’on transpose à l’aide de la multiplication et de la division. Si nous divisons un nombre par sa réciproque et que nous obtenons un, nous avons essentiellement éliminé ce nombre de l’équation.

Voici un exemple. Trouver la valeur de K.

Comme lors de la transposition d’équations avec l’addition et la soustraction, la première chose à faire est d’isoler la variable que nous essayons de trouver. Dans ce cas, c’est « K ». Cela signifie que le 8 doit être retiré du côté gauche de l’équation. Multiplier 8 par sa réciproque nous donnera une valeur de 1. Parfait!

En ajoutant ces informations à l’équation, nous obtenons ceci :

Il resterait donc 1 × K dans la partie gauche de l’équation, qui ne serait finalement que « K » une fois la multiplication exécutée. C’est exactement ce que nous recherchons. Mais nous n’avons pas encore tout à fait terminé. Revenons maintenant à la règle d’or.

Tout ce que vous faites d’un côté de l’équation, vous devez le faire à l’autre. Par conséquent, comme nous avons multiplié le côté gauche de l’équation par ⅛ nous devons multiplier le côté droit de l’équation par ⅛.

Ainsi, si nous suivons cette méthode, nous obtiendrons le résultat suivant :

Nous devrions vérifier la réponse comme nous l’avons fait précédemment pour voir si elle est exacte.

Exercices pratiques

Il est maintenant temps de répondre à quelques questions pour vous exercer. Assurez-vous de consulter les réponses vidéo pour voir comment vous vous êtes débrouillé.

Si vous utilisez la version imprimée, PDF ou en livre numérique de ce livre, consultez le lien ci-dessus pour répondre au questionnaire. Les questions du questionnaire sont également fournies en annexe A à la fin du livre pour une utilisation hors ligne.

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À quoi le mot périmètre se réfère-t-il? Et si quelqu’un vous demandait de parcourir le périmètre d’un terrain de baseball? Qu’est-ce que cela voudrait dire?

Périmètre : Le périmètre, c’est le contour d’un objet en deux dimensions. Le mot vient du grec péri (autour) et mètre (mesure). Le terme peut être utilisé pour le contour ou sa longueur – il peut être considéré comme la longueur d’un contour d’une forme. Le périmètre d’un cercle s’appelle la circonférence.

Si vous deviez parcourir le périmètre d’un terrain de baseball, vous feriez le tour du contour extérieur du terrain et vous en calculeriez la longueur. Si vous voulais calculer le périmètre de quoi que ce soit, cela reviendrait en fait à en parcourir le bord extérieur. Évidemment, nous ne pouvons pas faire cela pour des formes ou des objets plus petits, mais vous comprenez le concept.

Lors du calcul du périmètre, la réponse sera toujours une mesure linéaire (ou unidimensionnelle) comme les pieds, les pouces, les mètres ou les centimètres.

Pourquoi le périmètre est-il important pour nous dans le domaine de la construction?

Supposons que vous êtes charpentier et que vous voulez poser des plinthes dans une pièce. Le calcul de la quantité de plinthes dont vous avez besoin implique de calculer le périmètre de la pièce. C’est également vrai pour les plombiers s’ils installent un drain périmétrique autour d’une maison. Le périmètre peut être utilisé dans de nombreux domaines du monde de la construction.

Le périmètre d’un carré et d’un rectangle

Un carré et un rectangle sont semblables, car ils ont quatre côtés. Une autre caractéristique commune aux deux est qu’ils ont chacun quatre angles droits. Un angle droit est un angle de 90 degrés.

Dans un carré, les quatre côtés sont égaux alors que dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux mais pas les côtés adjacents. Le calcul du périmètre d’un carré et d’un rectangle est très semblable. Définissons d’abord le nom de chaque côté.

Le carré est simple puisque la longueur de chacun des côtés est la même, et le nom de chaque côté est simplement « CÔTÉ ». Dans un rectangle, le côté long s’appelle « LONGUEUR » tandis que le côté le plus court s’appelle « LARGEUR ».

Avant de calculer le périmètre d’un carré et d’un rectangle, essayez de deviner quelle pourrait être la formule.

Si nous revenons à notre définition et disons que le périmètre est égal à la longueur autour d’un objet en deux dimensions, alors le périmètre des deux est égal à la longueur des quatre côtés combinés.

 

Existe-t-il une autre façon d’exprimer les deux formules?

Essayez de deviner.

Les deux versions de chaque formule sont correctes et vous pouvez utiliser celle que vous voulez pour répondre aux questions.

C’est peut-être le bon moment pour s’arrêter et discuter de la mémorisation.

La mémorisation est un sujet qui revient assez souvent en mathématiques. Les étudiant.e.s demandent souvent s’il faut mémoriser les formules et, dans la plupart des cas, la réponse est oui.

Mémoriser les formules peut devenir chronophage et peut aussi mobiliser une grande partie de vos capacités intellectuelles.

Le problème qui se pose lorsque les étudiant.e.s mémorisent des formules est qu’ils ou elles oublient souvent le sens de la formule. Les étudiant.e.s sont très doué.e.s pour introduire des chiffres dans des formules, mais ils ne comprennent pas vraiment le fonctionnement de la formule.

Si les chiffres venaient à être modifiés ou si la question était posée d’une manière différente, l’étudiant.e pourrait se perdre.

Vous pourriez réfléchir à ce qui suit. Chaque fois que vous obtenez une formule, au lieu de la mémoriser, essayez de la VISUALISER. Ce que je veux dire par là, c’est de visualiser ce que la formule représente. Avec un peu de chance, ce sera plus facile pour vous de travailler avec la formule et plus facile pour votre cerveau de s’en souvenir en cas de besoin.

Le périmètre d’un polygone

Tout d’abord, qu’est-ce qu’un polygone? En avez-vous déjà entendu parler?

Définition :

Un polygone est une figure plane (le terme plane signifie le fait qu’elle soit en deux dimensions) avec au moins 3 côtés et ces côtés doivent être droits.

En fait, nous avons déjà travaillé avec des polygones dans ce chapitre. D’après la définition, le carré et le rectangle sont tous deux des polygones. Par définition, un cercle n’est pas un polygone car il n’a pas de lignes droites.

Voici des exemples de polygones…

Chacune des formes est différente mais toutes comprennent des lignes droites.

La question :  Aurons-nous besoin d’une formule différente pour calculer le périmètre de chacune des formes?

La réponse :    NON

Si un polygone est composé de côtés qui sont tous des lignes droites, comment pensez-vous pouvoir en calculer le périmètre?

On peut trouver le périmètre d’un polygone en additionnant tous ses côtés. En fait, on pourrait créer une formule générique pour ça.

Formule :   

Ce que dit la formule, c’est qu’il suffit d’additionner tous les côtés pour obtenir le périmètre.

Exercices pratiques

Essayez quelques exercices pratiques pour vous-même. Assurez-vous de consulter les réponses vidéo pour voir comment vous vous êtes débrouillé.

Périmètre d’un cercle

Examinez le cercle ci-dessous.

Avez-vous remarqué une différence entre le cercle et le carré ou le rectangle?

Réponse : Le cercle n’a aucune ligne droite. Ce n’est qu’une ligne continue.

Ce que nous calculons lorsqu’il s’agit d’un cercle n’est pas le périmètre mais la circonférence. La circonférence est le périmètre d’un cercle.

Pour trouver la circonférence, nous devons savoir une ou deux choses sur le cercle. Nous devons connaître soit le diamètre, soit le rayon. Jetez un coup d’œil à l’image suivante pour connaître le diamètre et le rayon.

Si vous êtes au centre d’un cercle et que vous tracez une ligne droite jusqu’au bord du cercle, la distance mesurée s’appelle le rayon.

Si vous partez d’un point quelconque du bord du cercle et que vous tracez une ligne droite à travers le cercle pour finir de l’autre côté, vous obtenez le diamètre. Notez que cette ligne droite doit passer par le centre exact du cercle.

Il s’avère que le rayon d’un cercle est exactement la moitié du diamètre ou…

En travaillant avec l’équation, nous pourrions également affirmer que…

Quelle que soit la façon dont vous travaillez, les deux équations représentent la relation entre le rayon et le diamètre.

Ceci étant dit, nous pouvons nous pencher sur la formule permettant de trouver la circonférence d’un cercle. Avant de passer en revue la formule, essayez de deviner quelle est cette formule. Réfléchissez à nouveau à la relation entre les variables et à la manière dont elles peuvent fonctionner ensemble dans la formule.

Formule :   

Nous pourrions aussi écrire…

Attendez un peu!

Qu’est-ce que ce symbole?

Avez-vous déjà vu ou entendu parler de ce symbole?

Il s’agit d’une constante. C’est ce qu’on appelle « pi ».

« Pi » représente le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. « Pi » est une constante invariable.

Ceci étant dit, le nombre « pi » est quelque peu une anomalie. On pourrait penser qu’une constante serait quelque chose comme 7 ou peut-être 12,64 ou même 0,00004.

« Pi » est un peu plus compliqué que ça. Voici la valeur de « pi ».

Et il ne s’agit là que des premiers chiffres. La constante « pi » se prolonge à l’infini. Elle ne s’arrête pas. Des gens ont calculé « pi » avec des milliers de décimales.

La bonne nouvelle pour nous, c’est que nous n’avons pas à nous soucier de tous ces chiffres qui viennent après la virgule. Nous n’utiliserons que ce qui suit…

 

Si vous voulez en savoir plus sur le nombre « pi » et jusqu’où des gens l’ont calculé, consultez les sites Internet suivants : Pi (Wikipedia) et1 Million Digits of Pi (piday).

 

Ici, nous allons augmenter le niveau de difficulté d’un cran, et nous aurons besoin d’utiliser les règles de transposition de la dernière section pour nous aider.

 

Exercices pratiques

Essayez quelques exercices pratiques pour vous-même. Assurez-vous de consulter les réponses vidéo pour voir comment vous vous êtes débrouillé. Remarque : Regardez la vidéo SO WHAT (QU’EN EST-IL?) à la fin des exercices pratiques avant de passer à la section suivante.

Sélectionnez le lecteur audio suivant pour écouter en lisant cette section.

Jean est un peintre qui va peinturer un mur dans une maison. Il a besoin de savoir la quantité de peinture qu’il doit acheter pour ce mur. Il sait que le mur a la forme d’un rectangle et que les dimensions sont : 10 pieds de haut sur 27 pieds de large.

Comment pensez-vous qu’il devrait s’y prendre pour résoudre ce problème?

La réponse se trouve dans la calcul de l’aire du mur. Un pot de peinture peut couvrir une certaine surface et si Jean peut calculer la surface du mur, il pourra calculer le nombre de pots de peinture dont il aura besoin.

La première chose à faire ici est d’écrire la définition de l’aire. 

Aire : La quantité d’espace à l’intérieur des limites d’un objet plat (à 2 dimensions) tel qu’un triangle, un carré ou un cercle.

Voici quelques formes bidimensionnelles ombrées en gris. La partie grise représente l’aire de l’objet tandis que les lignes noires entourant l’objet représentent le périmètre.

L’aire d’un carré ou d’un rectangle

Avant de commencer à calculer l’aire d’un carré ou d’un rectangle, revenons rapidement au périmètre et plus précisément sur la façon dont nous avons défini les dimensions d’un carré et d’un rectangle.

Une fois de plus, la partie ombrée en gris correspond à l’aire de chacun des objets. La question est…

Peut-on utiliser ces dimensions pour calculer l’aire? Ou devons-nous trouver d’autres dimensions pour obtenir notre réponse?

 

Eh bien, il s’avère que ces dimensions nous conviendront. Non seulement elles sont utiles pour calculer le périmètre, mais elles fonctionnent aussi très bien pour calculer l’aire.

La question suivante est alors de savoir COMMENT utiliser ces dimensions?

 

Avant de passer à la suite pour voir comment on fait, prenez une minute pour y réfléchir. Peut-être même écrire certaines de vos réflexions. Une fois de plus, cela nous ramène à quelque chose dont nous avons déjà parlé. Si vous êtes capable de comprendre le concept, alors le processus implique moins de mémorisation.

Voici les formules pour calculer l’aire d’un carré et d’un rectangle.

Attention, il y a quelques différences par rapport au périmètre. Tout d’abord, il s’agit d’une multiplication et non plus d’une addition. Cela nous amène à notre deuxième point.

En jetant un coup d’œil à la formule du carré, nous voyons que nous multiplions un côté par un côté. Comme tous les côtés sont identiques, les deux côtés que nous multiplions n’ont pas vraiment d’importance.

Le problème, ce sont les unités avec lesquelles nous nous retrouvons. N’oubliez pas que lorsqu’on parle de périmètre, on a affaire à une ligne unidimensionnelle. Nos unités sont linéaires ou essentiellement unidimensionnelles.

Avec l’aire, nous obtenons des unités qui nous donnent une réponse en utilisant des unités bidimensionnelles. Rien de tel qu’un exemple pour bien comprendre.

Imaginons que nous avons un carré dont chaque côté mesure 5 pouces.

En utilisant la formule de l’aire d’un carré, nous obtenons…

Nous pouvons conclure que 5 fois 5 est égal à 25 mais que se passe-t-il lorsque nous multiplions des pouces par des pouces?

Eh bien, les pouces multipliés par les pouces donnent des pouces au carré ou, si vous deviez l’écrire, cela ressemblerait à ceci :

Ainsi, lorsque vous voyez des mesures telles que des pieds, des pouces, des milles, des kilomètres, etc. suivies du symbole du carré, il s’agit d la mesure d’une aire. En d’autres termes, il s’agit d’une mesure exprimée en deux dimensions.

Si nous reprenons notre exemple, nous obtiendrons ceci :

Si nous devions l’examiner visuellement, voici ce que nous aurions:

Disons que nous voulons obtenir la réponse en pieds carrés (pi²). Comment pensez-vous procéder? La meilleure façon de voir cela est visuelle. La première chose à retenir, c’est que :

Rappelez-vous qu’il s’agit d’une mesure linéaire ou unidimensionnelle. Ce que nous cherchons à obtenir, c’est une mesure bidimensionnelle.

En gros, il faut 144 pouces carrés pour faire un pied carré.

L’aire d’un triangle

Bien qu’un triangle ait des lignes droites semblables à celles d’un carré ou d’un rectangle, il diffère par le fait qu’il a trois côtés et non quatre. Cela signifie que les équations précédentes utilisant le côté, la longueur ou la largeur ne fonctionneront pas dans cet exemple. Examinez l’image du triangle. Dans notre équation, nous allons travailler avec la « base » et de « hauteur ».

Les triangles ne sont pas toujours disposés comme ici au-dessus. Mais cela n’a pas d’importance car vous pouvez tourner le triangle dans tous les sens et finir par trouver la « base » et la « hauteur ».

Une autre version d’un triangle est illustrée à gauche. Cette version est celle qui nous permet de trouver notre formule pour l’aire d’un triangle. Ce que nous avons à gauche est ce que l’on appelle un triangle « rectangle ». Un triangle rectangle est défini comme tout triangle dont l’un des angles est de 90°. Il possède également les caractéristiques d’un triangle, c’est-à-dire qu’il a une base et une hauteur ainsi que trois côtés. Maintenant, prenez ce triangle et faites-en un autre exactement similaire, mais inversez sa position comme dans l’image ci-dessous.

Le dessin ci-dessus montre qu’en réunissant les deux triangles, on obtient un rectangle. Ils pourraient également former un carré si la base et la hauteur étaient identiques.

Quoi qu’il en soit, lorsque nous revenons sur la formule d’un rectangle, il s’agit de la longueur multipliée par la largeur. Dans ce cas, en multipliant la base par la hauteur, nous obtiendrons l’aire des deux triangles.

Il est donc logique que l’aire de l’un des triangles soit l’aire de la base multipliée par la hauteur.

Et finalement, c’est exactement la formule d’un triangle. Notez que cela fonctionne pour n’importe quel triangle, même si ce n’est pas un triangle rectangle. L’objectif principal est d’obtenir la bonne mesure de la base et la bonne mesure de la hauteur.

Formule :

Prenons un exemple.

Il est logique que la hauteur soit exprimée en pouces puisqu’il s’agit d’une mesure linéaire et unidimensionnelle, mais comment en arrivons-nous à cette réponse? Y a-t-il une explication mathématique à cela?

La réponse est oui. Voici comment ça fonctionne.

Ce dont nous avons besoin pour commencer, ce sont les unités de l’équation avec laquelle nous travaillons. Nous ne nous préoccupons pas des valeurs réelles, mais seulement des unités.

Exercices pratiques

Essayez quelques exercices pratiques pour vous-même. Assurez-vous de consulter les réponses vidéo pour voir comment vous vous êtes débrouillé.

Aire d’un cercle

Si vous vous souvenez bien, dans la partie de ce chapitre consacrée au périmètre, nous avons étudié le périmètre (la circonférence) d’un cercle. Pour obtenir ce calcul, nous devions connaître l’une des deux caractéristiques du cercle. Pour trouver l’aire d’un cercle c’est pareil. La hauteur, la largeur ou la longueur ne fonctionneront pas pour nous, car il n’y a pas de lignes droites dans un cercle. Ce qu’il nous faut pour travailler, c’est le rayon ou le diamètre.

Il est intéressant de noter qu’il existe deux façons différentes de trouver l’aire d’un cercle. L’une comprend l’utilisation du rayon et l’autre l’utilisation du diamètre. Les deux équations fonctionnent aussi bien l’une que l’autre, mais en général, lorsqu’il s’agit des métiers, on utilise la formule du diamètre.

Souvenez-vous qu’à un moment donné, dans un autre chapitre, j’ai expliqué qu’apprendre à comprendre les concepts pouvait aider à éliminer le besoin de mémoriser des formules. Ce fait anecdotique peut vous aider à comprendre l’aire d’un cercle.

La première étape du processus consiste à prendre un cercle et à l’insérer parfaitement dans un carré.

Vous remarquerez que le côté du carré est de la même longueur que le diamètre du cercle.

Voici le fait anecdotique!

Il s’avère que l’aire d’un cercle placé parfaitement à l’intérieur d’un carré occupe exactement 78,54 pour cent de l’aire du carré.

C’est grâce à cette information que nous pouvons trouver la formule de l’aire d’un cercle.

Si la formule pour l’aire d’un carré est côté × côté, alors si nous prenons 78,54 pour cent de cette réponse, nous obtiendrons l’aire du cercle.

Comme le diamètre est de la même longueur que le côté, nous pouvons dire que le diamètre × le diamètre nous donne l’aire du carré et qu’en prenant 78,54 % de ce chiffre, nous obtenons l’aire du cercle.

Heureusement pour nous, le diamètre est l’une des caractéristiques d’un cercle que nous utiliserons.

Après cette longue explication, nous en arrivons à ceci :

Dans cette formule, 0,7854 représente les 78,54 pour cent dont nous avons parlé plus tôt.

Cette équation vous rappelle peut-être une autre équation pour l’aire d’un cercle et bien, votre souvenir est correct. La formule ci-dessus est celle que nous utilisons pour les métiers, mais si vous utilisiez la formule ci-dessous, vous auriez également raison.

Dans ce cas, π est une constante. Tel qu’indiqué précédemment, cette formule est également correcte, mais en général, lorsque l’on utilise les mathématiques pour les métiers, on s’en tient à la formule utilisant le diamètre.

Comme vous pouvez le voir, les deux formules donnent la même réponse. Bien que dans toutes les questions nous utilisions la formule du diamètre, n’hésitez pas à utiliser la formule du rayon. En fin de compte, ce qui importe, c’est que vous compreniez le processus et que vous obteniez la bonne réponse.

Exercice pratique

Essayez de faire un exercice pratique seul.e. Assurez-vous de consulter les réponses vidéo pour voir comment vous vous êtes débrouillé.

Si vous utilisez la version imprimée, PDF ou en livre numérique de ce livre, consultez le lien ci-dessus pour répondre au questionnaire. Les questions du questionnaire sont également fournies en annexe A à la fin du livre pour une utilisation hors ligne.

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Si l’on vous demandait de décrire le volume d’un objet, que diriez-vous? Comment décririez-vous les unités de votre calcul? 

Ce chapitre traite du calcul du volume et des unités utilisées lors du calcul d’un volume.

Dans le chapitre précédent, nous avons abordé le périmètre, qui est une mesure linéaire. Comme nous l’avons constaté, le périmètre est unidimensionnel et présente essentiellement les caractéristiques d’une ligne. Un bon exemple de périmètre serait de faire le tour d’un terrain de soccer. Vous parcouriez le périmètre du terrain.

Nous avons ensuite examiné l’aire, qui est une mesure bidimensionnelle. Un bon exemple : un dessus de table. Si vous deviez prendre un pinceau et repeindre le dessus de la table, vous peindriez l’aire du dessus de la table.

Lorsqu’il s’agit de volume, nous ajoutons une dimension supplémentaire, et le volume devient alors une mesure tridimensionnelle. Un bon exemple d’objet tridimensionnel : la planète Terre.

Voici une autre représentation visuelle des trois. Chaque ligne représente un plan.

Revenons à présent aux unités. Lorsqu’il s’agit de mesures linéaires, nous traitons les unités telles qu’elles sont. Je veux dire par là que nous obtenons la réponse en mètres, en pieds, en pouces, en centimètres, etc.

Lorsqu’il s’agit de surface, nous continuons à utiliser des unités telles que le mètre, mais elles sont mises au carré pour indiquer qu’elles ont deux dimensions. Par exemple, un appartement peut avoir une aire de 1200 pieds carrés ou 1200 pi². La mise au carré des pieds indique deux dimensions, comme la largeur ET la longueur. 

Maintenant, nous ajoutons une dimension supplémentaire au tableau. Non seulement nous avons peut-être une longueur et une largeur, mais nous avons peut-être aussi une profondeur. Ce qui nous amène à nous demander : « Quelles seraient les unités dans cette situation? »

Si nos unité étaient des mètres, la réponse serait des mètres cubes. Pour le formuler comme l’aire, cela ressemblerait à ceci :

Le « 3 » dans ce cas représente trois dimensions et il donne le sens au terme « cube » lorsque nous le lisons. Nous sommes maintenant prêts à poursuivre et à découvrir la formule du volume d’objets précis.

Le volume d’un cube

Lorsqu’on parle de « cube », on peut penser à un carré, mais avec une dimension de plus. Chaque dimension d’un carré est identique et le cube suit cette même logique.

Si l’on ajoute une troisième dimension, toutes les dimensions possibles sont identiques. Jetez un coup d’œil à l’un des cubes les plus célèbres du monde :

Pour trouver le volume du cube, nous devons multiplier ses trois arêtes. Plus précisément, nous cherchons à multiplier la longueur, la largeur et la hauteur. Comme les trois arêtes sont identiques, la formule se présente comme suit :

Trouver l’aire d’un cube est assez simple. Il vous suffit de connaître la longueur d’une arête, et vous avez toutes les informations dont vous avez besoin.

Volume d’un cube ou d’un réservoir rectangulaire

La façon de calculer le volume d’un réservoir rectangulaire est très semblable à la façon de calculer le volume d’un cube, à l’exception du fait que les dimensions d’un réservoir rectangulaire sont toutes différentes. À partir de maintenant, nous parlerons d’un réservoir.

Le nom des variables du réservoir sont différents. Pour le rectangle, nos variables étaient la longueur et la largeur.

Maintenant, nous ajoutons simplement une autre variable que nous appellerons « hauteur ».

La formule sera similaire à celle d’un cube, mais la variable « arête » sera remplacée par les trois variables du réservoir.

Formule :

Exercices pratiques

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À votre avis, que contient le réservoir sur la photo de gauche?

Peut-être de l’eau? Peut-être des céréales? Peut-être des vieux manuels de mathématiques pour les métiers de la construction?

Pour nous, en ce moment, il est moins important de savoir ce qu’il y a dans le réservoir que de savoir comment calculer la quantité de choses qui peuvent entrer dans le réservoir.

Ce type de réservoir est connu sous le nom de cylindre et se compose de trois éléments. Il comporte un sommet, un fond et une partie centrale. Nous supposerons que le haut et le bas sont tous deux des cercles parfaits de même diamètre et de même surface.

Un réservoir d’eau chaude est un bon exemple de cylindre. Examinez le réservoir d’eau chaude à droite et réfléchissez à ce que vous pourriez avoir besoin de savoir si vous deviez calculer son volume.

Qu’avez-vous trouvé? Et si vous essayiez de trouver une formule? Je vous donne un indice avant que vous ne tentiez votre chance.

Astuce : Le volume a une forme cubique. Par exemple : pieds cubes, mètres cubes, pouces cubes, etc.

Formule pour calculer le volume d’un cylindre

Voici la formule.

Le sommet d’un cylindre est tout simplement un cercle. Il comporte un diamètre, un rayon et une circonférence. Le fond et le sommet du réservoir ont les mêmes dimensions.

Nous avons donc besoin de cet élément (l’aire du sommet ou du fond) comme point de départ.

La question qui se pose est : « Quelle est la hauteur ou la longueur du réservoir? »

Cela jouera également un rôle important dans le calcul du volume.

Mettez tout cela ensemble et vous obtenez votre formule :

Une dernière question :

 

Quel genre et quel type d’unités allons-nous traiter dans notre réponse?

 

Des unités pour le volume d’un cylindre

Cette réponse comporte en réalité deux volets.

Première partie

La réponse à cette question se trouve dans toutes les unités des variables que nous traitons. Si nous avons affaire à des pieds, notre réponse sera la version en pieds. Si nous avons affaire à des pouces, notre réponse sera la version en pouces.

Deuxième partie

Tel qu’énoncé plus tôt, notre réponse sera en unités cubiques. Bien que nous n’ayons que deux variables (diamètre et hauteur), le diamètre est au carré et nous pourrions donc écrire la formule comme suit :

Au bout du compte, nous aurons trois variables, dont deux sont identiques. C’est ainsi que nous obtenons notre réponse en unités cubiques (3).

Exercices pratiques

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Nous avons à gauche une photo de notre belle planète, la Terre. Bien que l’image elle-même soit bidimensionnelle, nous savons que la Terre est tridimensionnelle. La Terre a un volume. La Terre est également un exemple de sphère.

Jusqu’à présent, nous avons calculé le volume des cubes, des réservoirs rectangulaires et des cylindres. À l’aide de ces informations, comment pensez-vous que nous pourrions calculer le volume d’une sphère? Quelles variables pensez-vous utiliser? Réfléchissez quelques minutes avant de passer à l’explication ci-dessous.

Au cas où vous vous poseriez la question, la Terre a un volume de…

Il y a deux choses à noter ici :

1. La réponse est encore une fois en unités cubiques.
2. C’est beaucoup de volume.

Nous devrions commencer par réexaminer la formule d’un cercle. Souvenez-vous qu’un cercle a un rayon, un diamètre et une circonférence. Souvenez-vous aussi que pour trouver la formule d’un cercle, nous aurions pu utiliser l’une des deux formules.

Lorsque nous abordons la formule pour une sphère, nous pouvons utiliser la formule deux comme point de départ. La formule d’une sphère a un aspect semblable, mais avec une petite particularité. Les similitudes comprennent le fait d’avoir à la fois pi et le rayon dans la formule, mais c’est là que les similitudes s’arrêtent.

Voici la formule :

La question devient : « D’où viennent les 4/3? » Eh bien, l’explication est en fait assez longue, et je la laisse pour un autre jour. En bref, cela vient du fait que si l’on prend deux cônes ayant des dimensions similaires à celles de la sphère, le volume de ces deux cônes sera égal à celui de la sphère. Avec un peu d’astuce mathématique le 4/3 découle de ce fait.

Le pi dans la formule est la constante que nous utilisons pour trouver la circonférence d’un cercle, et le rayon, comme vous vous en souvenez peut-être, équivaut à la moitié de la longueur du diamètre. Et enfin, le rayon est au cube. Cela est lié au fait qu’en fin de compte, nous calculons un volume, qui a trois dimensions.

Je ne m’attendais pas à ce que vous compreniez la formule, car elle est assez bizarre, mais le fait de comprendre d’où elle vient aide à la conceptualiser. Comme nous en avons parlé précédemment, le but de cet exercice est de s’appuyer moins sur la mémorisation et plus sur la compréhension de la manière dont les choses sont calculées.

Exercice pratique

Essayez de répondre seul.e à un exercice pratique, et vérifiez la réponse vidéo pour voir si vous avez bien répondu à la question.

Si vous utilisez la version imprimée, PDF ou en livre numérique de ce livre, consultez le lien ci-dessus pour répondre au questionnaire. Les questions du questionnaire sont également fournies en annexe A à la fin du livre pour une utilisation hors ligne.